许冬冬， 高炜

(云南师范大学 信息学院,云南 昆明 650500)

在理论化学中，常用图模型来表示分子结构，用顶点来表示原子，边表示它们之间的化学键.而化学分子的特性常常用一些参数来衡量，比如PI指数、维纳指数、Randic指数等等[1-5].本文只考虑无向、简单、有限图.设G是一个图，它的顶点集合和边集分别用V(G)和E(G)来表示.文中所用符号和标记若没有特别说明则与文献[6]一致.

一个图的维纳指数W(G)是图中所有顶点对的距离之和：

其中d(u,v)表示顶点u和v在G中的距离.超维纳指数WW(G)作为一般维纳指数的推广，其定义如下：

有关超维纳指数的研究是近年来理论化学研究的热点[7-10].本文将研究线图和一些特殊图类的超维纳指数，给出若干结果.

1 线图的超维纳指数

定理1 设G是有n个顶点，m条边的连通图，且顶点vi的度为di.若G的直径Diam(G)≤2且G的任意一个导出子图都不同构于下面的F1、F2和F3.

图1 G的导出子图的禁图

设L(G)为G的线图，则有：

(1)

对一个直径不超过2的连通图，易知在导出子图不同构于F1、F2和F3的条件下，其线图的直径也不会超过2.从而有

结论证毕.

推论1 设G是一个有n个顶点的连通r正则图.若G的直径Diam(G)≤2且G的任意一个导出子图都不同构于图1中的F1、F2和F3.则有

定理2 设G是一个连通图，其顶点集合V(G)={v1,v2,…,vn},边集合E(G)={e1,e2,…,em}.设vi的度为di.若e=uv是G的任意一条边，则e的度定义为d(e)=du+dv-2.则有

上式等号成立的充分必要条件为：G的直径Diam(G)≤2且G的任意一个导出子图都不同构于图1中的F1、F2和F3.

对于边e=uv，它一共关联了d(e)=du+dv-2条边.因此e在G中不关联的边共有m-1-d(e)条.在L(G)中，e与这m-1-d(e)个顶……