李玉华

(云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500)

1 引言及主要结果

T(n)即是人们通常所说的3n+1函数,它是一个极其简单的数论函数.

设X为一个非空集合,h:X→X为X上的自映照.对于任意的非负整数n,用符号h°n表示h的n次迭代,它们中的每一个也都是X上的自映照.对于任意的x0∈X,将点列h°n(x0) (n=0,1,2,…)称为x0关于h的(正向)轨道.如果对于某个y∈X,存在正整数ky,使得

h°ky(y)=y,h°j(y)≠y(∀j∈{1,2,3,…,ky-1}),

那么,称y为h的长度为ky的周期点.

3n+1函数看似简单,但是对其通过任意次迭代所产生的迭代函数列的混乱与复杂程度却远远超过大多数人的想象.Collatz L于1952年提出了如下猜想:

3n+1猜想[1]对于∀m∈,相应∃km∈,使得T°km(m)=1.

3n+1猜想亦称为3n+1问题，它的称述十分简单,知道整数的乘、除法的人都可以理解，但要解决它却极其困难，它目前仍是数论中的一个未彻底解决的问题.

设h(z)为超越整函数，由h(z)迭代所产生的整函数族{h°n(z)|n=0,1,2,…}的正规点所成之集合称为h(z)的Fatou集或稳定点集，用符号F(h)表示之，而F(h)相对于复平面的余集称为h(z)的Julia集或不稳定点集，简记为J(h).由解析函数的正规族定义(参见[2])可知:F(h)是的开子集.F(h)的每一个最大连通开子区域称为F(h)的一个分支.关于复解析动力系统更详细的内容可参见文献[3-4].

1996年，Chamberland M[5]将3n+1猜想与实解析动力系统的研究联系起来,为3n+1猜想的研究开辟了一条新的途径.1999年,Letherman S等[6]又进一步将3n+1猜想与复解析动力系统的研究联系起来，沿着这一思路继续深入探索,我们得到3n+1猜想在复解析动力系统中的如下等价形式.

定理1 设h(z)为超越整函数,h在自然数集Ν上的限制恰好为3n+1函数T，而且|h′(1)h′(2)|<1,并对于∀n∈Ν{1,2}有|h′(n)|≥2.则3n+1猜想成立的充分必要条件是：Ν⊂F(h)．