赵振宇， 周刘兵

(深圳信息职业技术学院， 广东 深圳 518172)

基于键合图的模态分析与应用研究*

赵振宇， 周刘兵

(深圳信息职业技术学院， 广东 深圳 518172)

传统的模态分析方法采用牛顿定律建立运动方程，分析质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]，求解系统的固有频率和振型的过程十分复杂、繁琐。将键合图理论与方法运用于系统的模态分析，通过建立系统的状态空间方程，可以得到系统的模态。该方法能简便、正确计算系统的模态，获得完整的数据。文中提供的算例进一步证明了该方法的正确性和有效性。

键合图;模态;振型

0 引 言

在机械振动中，多自由度系统的振动方程式通常采用两种方法建立[1]:①用动力学的基本定律或定理直接对系统中的物体建立各自的运动方程式，综合这些运动方程式就是系统运动方程式；②分析力学的方法，该方法主要用于一些多自由度的系统，合理地选取系统的广义坐标，得到动能和势能用广义坐标表示的表达式，再利用计算虚功的方法求得广义力，得到运动微分方程式。与动力学方法相比，该方法采用了拉格朗日方程，建立的运动方程式较规格化[2]。

键合图理论与其它动力学方法相比, 有以下显著特点[3]:①用统一的方式处理多能域并存的系统；②以简明的图形方式直观地揭示系统的动力学特征，将研究多种能量范畴系统的动态特性方法统一起来，并在键合图模型中充分反映系统内部的信息流向、功率流向和元件间的负载效应；③键合图用状态方程作为系统的模型，从键合图形成到状态方程的列出一般按一定程序进行，因此十分便于完全计算机化，从建立模型到数值计算、系统分析都可由计算机自动完成；④键合图方法建立的模型便于修改和完善，且修改简单，工作量小。因此，键合图已成为系统动态分析的有力工具。

由文献[4]可知工程系统和物理系统中以相互作用的子系统(或元件、结构)必然传递功率作为产生键合图的原始依据，也是用键合图描述系统的唯一依据。系统和子系统，子系统和元件之间相互连接的地方有功率流动作为通口，用带半个箭头通口线表示通口，每个键均对应有两个变量即势变量e和流变量f，这一对变量标量积就是该元件的流动瞬时功率。为了方便研究，在键合图中把各类变量中的力、转矩、压力、电压用一个共同的符号e(t)表示，称为势，记其于水平线的上方或垂直线的左方。同理，把各类功率变量中的速度、角速度、体积流量和电流用另一个共同的符号f(t)表示，称为流，记其于水平线的下方或垂直线的右方。表1列出了几种功率变量范畴中的势变量和流变量。

每晚十点，当我听人读诗，并和这些并未谋面却情趣相投的人一起读诗的时候，内心的压力、心中的烦闷渐渐转变成工作和生活的动力。

表1 几种能量交换范畴中的势变量和流变量

笔者将键图理论和方法应用于机械系统模态分析，为机械振动模态分析提供了一种新的工具，提出的策略能解决多自由度系统的振动问题，通过算例详细分析了该方法的正确性。

据住房城乡建设部标准定额司司长苏蕴山介绍，本次发布的10项标准涵盖促进城市绿色发展、保障城市安全运行、建设和谐宜居城市三个方面，包括《海绵城市建设评价标准》《绿色建筑评价标准》《装配式混凝土建筑技术标准》《装配式钢结构建筑技术标准》《装配式木结构建筑技术标准》《城市综合防灾规划标准》《城市排水工程规划规范》《城镇内涝防治技术规范》《城市居住区规划设计标准》《城市综合交通体系规划标准》。

1 基于键合图在模态分析上的理论推导

由式(1)可得系统的特征值和特征向量为：

图1 系统的键合图结构

设Xi= [p1p2…pnq1q2…qm]T,Xd= [PD1PD2…PDn1qD1qD2…qDm1]T, 源场对系统的输入U= [Se1Se2…SesSf1Sf2…Sfr]T。由文献[4]知Xd为非独立能量变量向量,Xi为系统的状态变量。若图1中储能元件全部取积分因果关系(无因果矛盾)，按一定的规则，由键合图1可写出线性系统状态方程为：

(1)

式中：

系统可根据构成它的基本元件作用划分为不同形式能量场, 如图1所示。其中独立贮能场是由具有积分因果关系[5]的惯性顽抗件I和容性元件C所组成，非独立贮能场是由具有微分因果关系的I元件及C元件所组成，耗散场是由阻性元件R组成，源场是指外界对系统的输入。

这是富商之家，在胡人包围桂州前，富商就见过梨友，献上金银珠宝，还把城中哪些人家有钱、哪些人家在朝中当官，都详尽地写在单子上，交给了梨友。梨友看他忠诚，许破城之日，让他做桂州县令。

(2)

Aψi=λiψi， (A-λi)ψi=0

一般地，由[A]阵可得n个特征值，将它们分别代入式(2)得n个特征向量，可分别记为：

(3)

显然由式(2)可得到一对偶模态动量模态Φp, 变位模态Φq及各同形模态，即得到系统的位移模态Φu、速度模态Φv(速度模态是位移模态的同型模态)和应变(力、应力)模态Φε(ΦF、Φσ)。这些同型模态是按照系统本身的物理意义进行推导而来的。

(4)

ψui=diag[(IjSi)-1]ψpi

(5)

式中：i=1,2,…n，j=1,2,…m，Si为Laplace算子。

与状态变量q对应的模态Φq是变形模态。对于简单一维振动情况(轴的纵向振动或扭转振动等)，同理，由容性元件的构成规律，变形模态也易转化为力模态ΦF、应变模态Φε和应力模态Φσ，即：

可得：

(6)

(7)

(8)

式中：

由式(2)得到的特征值和特征向量都是共轭的，存在共轭特征值和共轭特征向量，因此，式(2)可进一步改写为：

北极地区自然资源丰富，据HIS Energy 公司公布的调查数据，现已发现的北极油气储量约占世界已探明原油储量的25%。[7]随着全球气温升高，北极地区将转变为全球最具价值的自然资源开采区，油气开发迎来一个井喷期。

(9)

由式(9)可得：

Apψqi=λiψpi，Aqψpi=λiψqi

(10)

同理式(2)可改写为：

(11)

可得：

(12)

式(2)可进一步改写为：

(13)

隐性分层教学，“暗中”把相当水平的、某些方面相类似的学生归结为一个个“层次”并分配在不同的组内。[1]根据学生的层次，对教学目标、教学内容、教学活动、教学策略、课后作业以及考核评价等进行分层，因材施教，优差学生互助，培养每个层次学生的学习主动性、积极性和兴趣，使每个层次学生的英语水平都得到提升。隐性分层的最大优点是其对学生分层上的“隐蔽性”，更好地保护了学生的自尊心，充分调动学生的积极性、主动性，使不同层次的学生在英语学习上都获得最佳效果。

(14)

(15)

显然由式(2)可得到一对偶模态动量模态Φp, 变位模态Φq及各同形模态，即得到系统的位移模态Φu、速度模态Φv和应变(力、应力)模态Φε(ΦF、Φσ)。与状态变量q对应的模态Φq是变形模态，同理，由容性元件的构成规律，变形模态也易转化为力模态ΦF、应变模态Φε和应力模态Φσ。因此，键合图理论可用于多能量领域。

2 算例分析

图2表示一个弹簧质量系统，k1=3k，k2=2k，k3=k，m1= 2m，m2= 1.5m，m3=m，求系统的固有频率和主振型。

图2 多自由度系统

其键合图模型如图3所示。

图3 键合图模型

根据牛顿定律可得:

式中：lj为离散轴各段长度；i=1,2,…n，j=1,2,…m，π依具体情况而定。

求解其固有频率为：

对应于三个固有频率的主振型列阵为：

情况 3 v7,v8全染颜色1,v2,v6染1,v4只能染2,则可继续用上述方法将穷点v3改染为1, 并用3来染v。

正则振型矩阵为：

利用键合图理论，可得出图2所示系统的状态空间方程为:

海归新生代学成归来后，为了融入中国土壤，要先了解什么是中国的亲缘与地缘文化，为什么亲缘与地缘在中国这么受重视。中国情境下，做事只注重目的性是行不通的，需要有一份醉翁之意不在酒的释然。详见图2-1。

将v=p/m代入上式，可求得v1,v2,v3,q4,q5,q6。运用自编的Matlab程序，得出多自由度系统的固有频率和振型，其计算结果如表2所列。

表2 固有频率和振型

采用牛顿定律和利用键合图理论进行模态分析，两种方法求得的三阶振型对比情况如图4所示。

对应三阶振型数值的比较为：

可以综合反映出住院费用各构成部分在一定时期内的综合变化情况，其值在0～100%波动，波动值越大，说明在比较期间内相关明细项目的结构变动程度越大。

2.2.3 精密度试验 精密吸取对照品溶液10 uL，连续进样6次，记录峰面积。结果，峰面积平均值为8 807 154.8，RSD值为0.62%，结果表明仪器精密度良好。

通过上面的图例比较或用对应的数值相比，利用牛顿定律和键合图方法得到系统的固有频率和振型是一致的，可得到相同的结果，前者方法计算中要分别计算质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]，按照二阶导数求解，过程复杂，而后者只要根据系统，建立键合图模型，直接写出系统的状体空间方程，过程求解显得更为简单，但这只是利用键合图方法优势的其中一个方面。实际上，使用键合图进行模态分析，能将变位模态Φq经过式(6)～(8)转变，进一步得到力模态ΦF、应变模态Φε和应力模态Φσ；还能将动量模态Φp通过式(4)、(5)可得到位移模态Φu、速度模态Φv。此外，根据势变量和流变量的关系，键合图模型还能广泛应用于复杂机电系统中的机、电、磁、液等系统中。

图4 三阶振型比较

根据前面的计算，应用牛顿定律时则要求解一元高次方程和方根，且速度模态Φv和应变模态Φε各有

3.1.1 增设医院班车。医院首先要鼓励内部的职工尽量乘坐公共交通工具上班，或者医院使用固定班车来接送医务人员上下班，班车应当覆盖大部分职工的出行线路，减少进出医院的固定交通流，节约停车场的停车位等交通资源。

一套公式，过程较复杂，没有键合图理论运用于系统的模态分析方便。充分说明了运用键合图理论进行模态分析的优点。

11月3日10版《林黛玉家到底有多少财产》，其最后“(作者为华师大中文系教授”，用“(作者为华东师大……)”为妥；我国还有华中师大、华南师大等。

3 结 论

利用键合图理论和方法，建立系统的状态空间方程，可简化物理系统建模和自动化仿真，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可快速得到系统的模态。算例分析说明了该方法的正确性，因此，借助键合图，模态分析理论和方法可推广到复杂机、电、液系统的多能量域中。

[1] 倪振华.振动力学[M].西安:西安交通大学出版社,1989.

[2] 薛晓鹏，樊久铭.基于拉格朗日键合图梁-多自由度耦合系统模态分析[J].应用力学学报,2010, 27(2):239-242.

[3] 王中双,高永革.基于键合图理论的系统状态方程的转化方法[J].机械科学与技术,1999,18(1):54-56.

[4] 卡诺谱D C, 罗森堡R C, 张志伟.系统动力学—— 应用键合图方法[M].北京: 机械工业出版社,1985.

[5] 王艾伦, 赵振宇.基于键合图方法的自由界面模态综合法及其应用[J].振动、测试与诊断, 2004,24(2):87-91.

Research on Modal Analysis and Application Based on Bond Graph

ZHAO Zhen-yu， ZHOU Liu-bing

(ShenzhenInstituteofInformationTechnology,Shenzhen,Guangdong518029,Chian)

The traditional modal analysis method is to use Newton′s laws to build motion equation and analyze mass matrix[M] and stiffness matrix[K], solving natural frequencies and mode shapes of systems is very complicated and cumbersome. The bond graph theory and modal analysis method are used in the paper. Through the establishment of the system of state-space equation, the systemic modal could be got. The method is simple and can correctly calculate modal system, access to complete data. The example is provided in the paper and further could prove the correctness and validity of the proposed method.

bond graphs; modal; vibration mode

2014-04-13

广东省自然科学基金项目(编号: S2012010010742)和深圳市科技计划项目(编号: JCYJ20130401095559824)

赵振宇(1974-)，男，江西高安人，博士，副教授，主要从事复杂机电系统的动力学建模与仿真、CAD/CAM/CAE研究方面的工作。

TH113.1

A

1007-4414(2014)03-0007-04