趣味数学“鸡兔同笼”探究活动方案
2014-08-02刘春阳
刘春阳
活动的提出：
鸡兔同笼是中国古代的数学趣味题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？
活动目的：
1.了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。
2.尝试从不同角度分析“鸡兔同笼”问题，并构建方程组解决两个或多个未知量的问题，
体会算术方法和方程（方程组）模型之间的内在联系，培养学生的转化思想，分类讨论思想和建型意识。
探究方案：
方案一：用列举法（列表法），分组制作表格，列举出各种可能情况，找出符合条件的一组。
方案二：假设法
先用假设全是鸡的办法解决了这个问题，再假设全是兔分析和解决这个问题。
方案三：方程（方程组）法
让学生建立方程模型，用一元一次方程，二元一次方程组来解决这个问题。体现建模思想。
探究活动
活动一：
将全班学生分成若干个小组，每组6人，每组制作一个统计表， 分组讨论列举出各种方案，并在表中记录。
x
方案（二） 若鸡的只数为1，根据腿的总数是94，得兔的只数为23，则 头的数总是24，不符合题意；若鸡的只数为2，根据腿的总数是94，得兔的只数为 ，则 头的数总是 ，不符合题意；...一直找到符合条件的那一组值。
当然还可以从兔的只数的角度讨论制作表格进行列举。
活动小结：
用列举法（列表法）解决这样的问题，虽然比较繁琐，工作量比较大，但是从长远看，不仅可以培养学生的解决数学问题的分类思想，也为后面学习求二元一次方程的整数解和概率等知识奠定基础。
活动二：
为了研究方便，我们把班级同学分成若干小组，每组6人，每个小组内都准备了若干个鸡、兔玩具模型（学生自备，数量足够组内使用），
1.取出几只鸡和兔，数出头、腿总数少多少和鸡、兔数目，假设全是鸡的话，把取出的兔子全部换成鸡，数出头、腿总数少多少和鸡、兔数目，前后两种情况进行比较；探究出这些量之间的关系式。再假设全是兔的话，把取出的鸡全换成兔，试一试。
2.让取出的每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，观察这时笼子里的兔就比鸡的脚数只多1，探讨分析得出而脚的总数与头的总数之差就是兔子的只数，问题得以解决。
活动小结：
通过活动不难发现题目中存在这样两个等量关系式：
鸡的只数 + 兔的只数 =头的总数...
鸡的只数×2 + 兔的只数×4 =腿的总数...
若假设全是鸡的话，就相当于将式子-×2得：兔的只数= （腿的总数-头的总数×2）；若假设全是鸡的话，就相当于将式子×4-得：鸡的只数= （头的总数×4-腿的总数）；若采用“抬脚法”，就相当于将式子÷2-得：兔的只数= 腿的总数-头的总数；这样结论的得出即锻炼强学生的逻辑思维能力又能为学生后面学习等式的加减法解二元一次方程组做好铺垫。同时学生也能理解小学算术方法的合理性，把算术方法与方程思想有机结合起来.
活动三：
分组讨论如何用一元一次方程，二元一次方程组如何来解决这个问题。
方法1.我们可以采用列方程的办法：设其中的一个量为未知数，另一个数也用含有这个未知数的代数式来表示，根据题意，列出方程，解答即可
设兔子的数量为x只，鸡的数量为（35-x）只，那么这可以列出方程
2x+4（35-x）=94，解这个方程得x=12；即兔子有12只，鸡有23只。
方法2.我们也可以采用列方程组的办法：设两个未知数，根据题目中两个等量关系式，列出方程组，解方程组即可。
设笼中有 只鸡和 只兔，这样可得方程组：
（1）×2得： （3）
（2）-（3）得：
所以
把 代入（1）得
于是得到方程组的解：
活动小结：
让学生亲身体验，解决像“鸡兔同笼”这样有两个未知量的问题，既可以用我们学习过的一元一次方程，也可以构建二元一次方程组来解决。构建二元一次方程组解答时，关键是根据条件反映全题题意的两个等量关系式.即可列出方程组解决问题.
活动四：
生活中有类似“鸡兔同笼”的问题，分组讨论并设计出类似“鸡兔同笼”的问题，且用能指出问题中什么量相当于“兔”，什么量相当于“鸡”。
下面是节选学生设计出来的问题：
1.男孩子带的帽子是蓝色的，女孩子带的帽子是粉色的。在男孩子看来，天蓝色的与粉红色的一样，；在女孩子看来，天蓝色的比粉红色的多一倍，男孩女孩各有几人？
2.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个
3.从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.王军上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米 ？
4.古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
5.甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？
6.甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度？
7.某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有A，B，C三种型号：A型号的每间住8个学生，B型号每间住7个学生，C型号每间住5人.B型号其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间 ？
8.某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，平均每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，要求一个螺栓配两个螺母，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套.
活动小结：
利用模型解决实际问题，同时也促进模型的进一步内化。
活动的提出：
鸡兔同笼是中国古代的数学趣味题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？
活动目的：
1.了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。
2.尝试从不同角度分析“鸡兔同笼”问题，并构建方程组解决两个或多个未知量的问题，
体会算术方法和方程（方程组）模型之间的内在联系，培养学生的转化思想，分类讨论思想和建型意识。
探究方案：
方案一：用列举法（列表法），分组制作表格，列举出各种可能情况，找出符合条件的一组。
方案二：假设法
先用假设全是鸡的办法解决了这个问题，再假设全是兔分析和解决这个问题。
方案三：方程（方程组）法
让学生建立方程模型，用一元一次方程，二元一次方程组来解决这个问题。体现建模思想。
探究活动
活动一：
将全班学生分成若干个小组，每组6人，每组制作一个统计表， 分组讨论列举出各种方案，并在表中记录。
x
方案（二） 若鸡的只数为1，根据腿的总数是94，得兔的只数为23，则 头的数总是24，不符合题意；若鸡的只数为2，根据腿的总数是94，得兔的只数为 ，则 头的数总是 ，不符合题意；...一直找到符合条件的那一组值。
当然还可以从兔的只数的角度讨论制作表格进行列举。
活动小结：
用列举法（列表法）解决这样的问题，虽然比较繁琐，工作量比较大，但是从长远看，不仅可以培养学生的解决数学问题的分类思想，也为后面学习求二元一次方程的整数解和概率等知识奠定基础。
活动二：
为了研究方便，我们把班级同学分成若干小组，每组6人，每个小组内都准备了若干个鸡、兔玩具模型（学生自备，数量足够组内使用），
1.取出几只鸡和兔，数出头、腿总数少多少和鸡、兔数目，假设全是鸡的话，把取出的兔子全部换成鸡，数出头、腿总数少多少和鸡、兔数目，前后两种情况进行比较；探究出这些量之间的关系式。再假设全是兔的话，把取出的鸡全换成兔，试一试。
2.让取出的每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，观察这时笼子里的兔就比鸡的脚数只多1，探讨分析得出而脚的总数与头的总数之差就是兔子的只数，问题得以解决。
活动小结：
通过活动不难发现题目中存在这样两个等量关系式：
鸡的只数 + 兔的只数 =头的总数...
鸡的只数×2 + 兔的只数×4 =腿的总数...
若假设全是鸡的话，就相当于将式子-×2得：兔的只数= （腿的总数-头的总数×2）；若假设全是鸡的话，就相当于将式子×4-得：鸡的只数= （头的总数×4-腿的总数）；若采用“抬脚法”，就相当于将式子÷2-得：兔的只数= 腿的总数-头的总数；这样结论的得出即锻炼强学生的逻辑思维能力又能为学生后面学习等式的加减法解二元一次方程组做好铺垫。同时学生也能理解小学算术方法的合理性，把算术方法与方程思想有机结合起来.
活动三：
分组讨论如何用一元一次方程，二元一次方程组如何来解决这个问题。
方法1.我们可以采用列方程的办法：设其中的一个量为未知数，另一个数也用含有这个未知数的代数式来表示，根据题意，列出方程，解答即可
设兔子的数量为x只，鸡的数量为（35-x）只，那么这可以列出方程
2x+4（35-x）=94，解这个方程得x=12；即兔子有12只，鸡有23只。
方法2.我们也可以采用列方程组的办法：设两个未知数，根据题目中两个等量关系式，列出方程组，解方程组即可。
设笼中有 只鸡和 只兔，这样可得方程组：
（1）×2得： （3）
（2）-（3）得：
所以
把 代入（1）得
于是得到方程组的解：
活动小结：
让学生亲身体验，解决像“鸡兔同笼”这样有两个未知量的问题，既可以用我们学习过的一元一次方程，也可以构建二元一次方程组来解决。构建二元一次方程组解答时，关键是根据条件反映全题题意的两个等量关系式.即可列出方程组解决问题.
活动四：
生活中有类似“鸡兔同笼”的问题，分组讨论并设计出类似“鸡兔同笼”的问题，且用能指出问题中什么量相当于“兔”，什么量相当于“鸡”。
下面是节选学生设计出来的问题：
1.男孩子带的帽子是蓝色的，女孩子带的帽子是粉色的。在男孩子看来，天蓝色的与粉红色的一样，；在女孩子看来，天蓝色的比粉红色的多一倍，男孩女孩各有几人？
2.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个
3.从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.王军上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米 ？
4.古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
5.甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？
6.甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度？
7.某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有A，B，C三种型号：A型号的每间住8个学生，B型号每间住7个学生，C型号每间住5人.B型号其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间 ？
8.某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，平均每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，要求一个螺栓配两个螺母，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套.
活动小结：
利用模型解决实际问题，同时也促进模型的进一步内化。
活动的提出：
鸡兔同笼是中国古代的数学趣味题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？
活动目的：
1.了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。
2.尝试从不同角度分析“鸡兔同笼”问题，并构建方程组解决两个或多个未知量的问题，
体会算术方法和方程（方程组）模型之间的内在联系，培养学生的转化思想，分类讨论思想和建型意识。
探究方案：
方案一：用列举法（列表法），分组制作表格，列举出各种可能情况，找出符合条件的一组。
方案二：假设法
先用假设全是鸡的办法解决了这个问题，再假设全是兔分析和解决这个问题。
方案三：方程（方程组）法
让学生建立方程模型，用一元一次方程，二元一次方程组来解决这个问题。体现建模思想。
探究活动
活动一：
将全班学生分成若干个小组，每组6人，每组制作一个统计表， 分组讨论列举出各种方案，并在表中记录。
x
方案（二） 若鸡的只数为1，根据腿的总数是94，得兔的只数为23，则 头的数总是24，不符合题意；若鸡的只数为2，根据腿的总数是94，得兔的只数为 ，则 头的数总是 ，不符合题意；...一直找到符合条件的那一组值。
当然还可以从兔的只数的角度讨论制作表格进行列举。
活动小结：
用列举法（列表法）解决这样的问题，虽然比较繁琐，工作量比较大，但是从长远看，不仅可以培养学生的解决数学问题的分类思想，也为后面学习求二元一次方程的整数解和概率等知识奠定基础。
活动二：
为了研究方便，我们把班级同学分成若干小组，每组6人，每个小组内都准备了若干个鸡、兔玩具模型（学生自备，数量足够组内使用），
1.取出几只鸡和兔，数出头、腿总数少多少和鸡、兔数目，假设全是鸡的话，把取出的兔子全部换成鸡，数出头、腿总数少多少和鸡、兔数目，前后两种情况进行比较；探究出这些量之间的关系式。再假设全是兔的话，把取出的鸡全换成兔，试一试。
2.让取出的每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，观察这时笼子里的兔就比鸡的脚数只多1，探讨分析得出而脚的总数与头的总数之差就是兔子的只数，问题得以解决。
活动小结：
通过活动不难发现题目中存在这样两个等量关系式：
鸡的只数 + 兔的只数 =头的总数...
鸡的只数×2 + 兔的只数×4 =腿的总数...
若假设全是鸡的话，就相当于将式子-×2得：兔的只数= （腿的总数-头的总数×2）；若假设全是鸡的话，就相当于将式子×4-得：鸡的只数= （头的总数×4-腿的总数）；若采用“抬脚法”，就相当于将式子÷2-得：兔的只数= 腿的总数-头的总数；这样结论的得出即锻炼强学生的逻辑思维能力又能为学生后面学习等式的加减法解二元一次方程组做好铺垫。同时学生也能理解小学算术方法的合理性，把算术方法与方程思想有机结合起来.
活动三：
分组讨论如何用一元一次方程，二元一次方程组如何来解决这个问题。
方法1.我们可以采用列方程的办法：设其中的一个量为未知数，另一个数也用含有这个未知数的代数式来表示，根据题意，列出方程，解答即可
设兔子的数量为x只，鸡的数量为（35-x）只，那么这可以列出方程
2x+4（35-x）=94，解这个方程得x=12；即兔子有12只，鸡有23只。
方法2.我们也可以采用列方程组的办法：设两个未知数，根据题目中两个等量关系式，列出方程组，解方程组即可。
设笼中有 只鸡和 只兔，这样可得方程组：
（1）×2得： （3）
（2）-（3）得：
所以
把 代入（1）得
于是得到方程组的解：
活动小结：
让学生亲身体验，解决像“鸡兔同笼”这样有两个未知量的问题，既可以用我们学习过的一元一次方程，也可以构建二元一次方程组来解决。构建二元一次方程组解答时，关键是根据条件反映全题题意的两个等量关系式.即可列出方程组解决问题.
活动四：
生活中有类似“鸡兔同笼”的问题，分组讨论并设计出类似“鸡兔同笼”的问题，且用能指出问题中什么量相当于“兔”，什么量相当于“鸡”。
下面是节选学生设计出来的问题：
1.男孩子带的帽子是蓝色的，女孩子带的帽子是粉色的。在男孩子看来，天蓝色的与粉红色的一样，；在女孩子看来，天蓝色的比粉红色的多一倍，男孩女孩各有几人？
2.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个
3.从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.王军上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米 ？
4.古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
5.甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？
6.甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度？
7.某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有A，B，C三种型号：A型号的每间住8个学生，B型号每间住7个学生，C型号每间住5人.B型号其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间 ？
8.某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，平均每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，要求一个螺栓配两个螺母，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套.
活动小结：
利用模型解决实际问题，同时也促进模型的进一步内化。
