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利用平行四边形的性质解题

2014-07-25万淑明

初中生之友·中旬刊 2014年5期
关键词:平分中考题对角线

万淑明

平行四边形是特殊的四边形,它具有许多重要的性质,比如对边平行且相等,对角相等,邻角互补,对角线互相平分,对角线的交点是对称中心。灵活应用这些性质可以解决许多问题,下面举例说明。

一、求角度

例1(2013年江西省中考题)如图1,?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为_______。

分析已知两个平行四边形的周长相等,且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形,顶角∠ADE=∠BCF,则可求∠DAE。

解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等,且有公共边CD,

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■(180°-∠ADE)=■×50°=25°。

点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确∠DAE的身份(为等腰三角形的底角),要求底角必须知道另一角的度数,关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求线段长

例2(2013年黑龙江省哈尔滨市中考题)如图2,在■ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()

A.4 B.3

C.■ D.2

分析根据平行四边形性质得出AB=DC,AD∥BC,可推出∠DEC=∠BCE,从而有∠DEC=∠DCE,可推出DE=DC=AB,得出AD=2DE即可。

解因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,AD∥BC,所以∠DEC=∠BCE。

因为CE平分∠DCB,所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE,所以DE=DC=AB。

因为AD=2AB=2CD,CD=DE,所以AD=2DE。

所以AE=DE=3,所以DC=AB=DE=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用,解题的关键是求出DE=AE=DC。

三、求周长

例3(2013年山东省烟台市中考题)如图3,?荀ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点O。点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为______。

分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OB=OD,又因为点E是CD的中点,可得OE是△BCD的中位线,则有OE=■BC,所以易求得△DOE的周长。

解因为?荀ABCD的周长为36,

所以2(BC+CD)=36,则BC+CD=18。

因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,BD=12,

所以OD=OB=■BD=6。

又因为点E是CD的中点,所以OE是△BCD的中位线,

所以OE=■BC。

所以△DOE的周长=OD+OE+DE=■BD+■(BC+CD)=6+9=15,即△DOE的周长为15。

故答案填15。

点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时,同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分”“平行四边形的对边相等”的性质。

四、证明角相等

例4(2013年浙江省衢州市中考题)如图4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分别交AD、BC于E、F,求证: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四边形BFDE的对角,所以只要证明四边形BFDE是平行四边形即可。

证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分别平分∠ABC与∠ADC,所以∠3=■∠ABC,

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四边形BFDE是平行四边形。

所以∠BED=∠BFD。

点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。

五、证明线段相等

例5(2013年四川省泸州市中考题)如图5,已知?荀ABCD中,F是BC边的中点,连接DF并延长交AB的延长线于点E。求证:AB=BE。

分析根据平行四边形性质得出AB=DC,AB∥CD,可推出∠C=∠FBE,∠CDF=∠E,可以证明△CDF≌△BEF,从而推出BE=DC,即可证明。

证明因为F是BC边的中点,所以BF=CF。

因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,AB∥CD。

所以∠C=∠FBE,∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF(AAS),所以BE=DC。

因为AB=DC,所以AB=BE。

点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用,解题的关键是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6(2013年四川省达州市中考题)如图6,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有?荀ADCE中,DE最小的值是()

A.2 B.3 C.4 D.5

解析由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知,当OD⊥BC时,DE线段取最小值。

因为在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,

所以AC=■=5。

因为四边形ADCE是平行四边形,

所以OD=OE,OA=OC=2.5。

所以当OD取最小值时,DE线段最短,此时OD⊥BC。

所以OD=■=1.5,

所以ED=2OD=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识。解答本题的关键,是利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质。

七、综合问题

例7(2013年云南省中考题)如图7,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列结论正确的是()

A.S■ABCD=4S△AOB

B.AC=BD

C.AC⊥BD

D.?荀ABCD是轴对称图形

分析根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可。

解因为平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

所以AO=CO,DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB,

所以S■ABCD=4S△AOB,故A选项正确。

无法得到AC=BD,故B选项错误;无法得到AC⊥BD,故C选项错误;■ABCD是中心对称图形,故D选项错误。

故答案选A。

点评本题主要考查了平行四边形的性质,正确把握平行四边形的性质是解题关键。

平行四边形是特殊的四边形,它具有许多重要的性质,比如对边平行且相等,对角相等,邻角互补,对角线互相平分,对角线的交点是对称中心。灵活应用这些性质可以解决许多问题,下面举例说明。

一、求角度

例1(2013年江西省中考题)如图1,?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为_______。

分析已知两个平行四边形的周长相等,且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形,顶角∠ADE=∠BCF,则可求∠DAE。

解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等,且有公共边CD,

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■(180°-∠ADE)=■×50°=25°。

点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确∠DAE的身份(为等腰三角形的底角),要求底角必须知道另一角的度数,关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求线段长

例2(2013年黑龙江省哈尔滨市中考题)如图2,在■ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()

A.4 B.3

C.■ D.2

分析根据平行四边形性质得出AB=DC,AD∥BC,可推出∠DEC=∠BCE,从而有∠DEC=∠DCE,可推出DE=DC=AB,得出AD=2DE即可。

解因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,AD∥BC,所以∠DEC=∠BCE。

因为CE平分∠DCB,所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE,所以DE=DC=AB。

因为AD=2AB=2CD,CD=DE,所以AD=2DE。

所以AE=DE=3,所以DC=AB=DE=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用,解题的关键是求出DE=AE=DC。

三、求周长

例3(2013年山东省烟台市中考题)如图3,?荀ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点O。点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为______。

分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OB=OD,又因为点E是CD的中点,可得OE是△BCD的中位线,则有OE=■BC,所以易求得△DOE的周长。

解因为?荀ABCD的周长为36,

所以2(BC+CD)=36,则BC+CD=18。

因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,BD=12,

所以OD=OB=■BD=6。

又因为点E是CD的中点,所以OE是△BCD的中位线,

所以OE=■BC。

所以△DOE的周长=OD+OE+DE=■BD+■(BC+CD)=6+9=15,即△DOE的周长为15。

故答案填15。

点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时,同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分”“平行四边形的对边相等”的性质。

四、证明角相等

例4(2013年浙江省衢州市中考题)如图4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分别交AD、BC于E、F,求证: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四边形BFDE的对角,所以只要证明四边形BFDE是平行四边形即可。

证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分别平分∠ABC与∠ADC,所以∠3=■∠ABC,

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四边形BFDE是平行四边形。

所以∠BED=∠BFD。

点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。

五、证明线段相等

例5(2013年四川省泸州市中考题)如图5,已知?荀ABCD中,F是BC边的中点,连接DF并延长交AB的延长线于点E。求证:AB=BE。

分析根据平行四边形性质得出AB=DC,AB∥CD,可推出∠C=∠FBE,∠CDF=∠E,可以证明△CDF≌△BEF,从而推出BE=DC,即可证明。

证明因为F是BC边的中点,所以BF=CF。

因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,AB∥CD。

所以∠C=∠FBE,∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF(AAS),所以BE=DC。

因为AB=DC,所以AB=BE。

点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用,解题的关键是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6(2013年四川省达州市中考题)如图6,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有?荀ADCE中,DE最小的值是()

A.2 B.3 C.4 D.5

解析由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知,当OD⊥BC时,DE线段取最小值。

因为在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,

所以AC=■=5。

因为四边形ADCE是平行四边形,

所以OD=OE,OA=OC=2.5。

所以当OD取最小值时,DE线段最短,此时OD⊥BC。

所以OD=■=1.5,

所以ED=2OD=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识。解答本题的关键,是利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质。

七、综合问题

例7(2013年云南省中考题)如图7,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列结论正确的是()

A.S■ABCD=4S△AOB

B.AC=BD

C.AC⊥BD

D.?荀ABCD是轴对称图形

分析根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可。

解因为平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

所以AO=CO,DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB,

所以S■ABCD=4S△AOB,故A选项正确。

无法得到AC=BD,故B选项错误;无法得到AC⊥BD,故C选项错误;■ABCD是中心对称图形,故D选项错误。

故答案选A。

点评本题主要考查了平行四边形的性质,正确把握平行四边形的性质是解题关键。

平行四边形是特殊的四边形,它具有许多重要的性质,比如对边平行且相等,对角相等,邻角互补,对角线互相平分,对角线的交点是对称中心。灵活应用这些性质可以解决许多问题,下面举例说明。

一、求角度

例1(2013年江西省中考题)如图1,?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为_______。

分析已知两个平行四边形的周长相等,且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形,顶角∠ADE=∠BCF,则可求∠DAE。

解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等,且有公共边CD,

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■(180°-∠ADE)=■×50°=25°。

点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确∠DAE的身份(为等腰三角形的底角),要求底角必须知道另一角的度数,关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求线段长

例2(2013年黑龙江省哈尔滨市中考题)如图2,在■ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()

A.4 B.3

C.■ D.2

分析根据平行四边形性质得出AB=DC,AD∥BC,可推出∠DEC=∠BCE,从而有∠DEC=∠DCE,可推出DE=DC=AB,得出AD=2DE即可。

解因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,AD∥BC,所以∠DEC=∠BCE。

因为CE平分∠DCB,所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE,所以DE=DC=AB。

因为AD=2AB=2CD,CD=DE,所以AD=2DE。

所以AE=DE=3,所以DC=AB=DE=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用,解题的关键是求出DE=AE=DC。

三、求周长

例3(2013年山东省烟台市中考题)如图3,?荀ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点O。点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为______。

分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OB=OD,又因为点E是CD的中点,可得OE是△BCD的中位线,则有OE=■BC,所以易求得△DOE的周长。

解因为?荀ABCD的周长为36,

所以2(BC+CD)=36,则BC+CD=18。

因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,BD=12,

所以OD=OB=■BD=6。

又因为点E是CD的中点,所以OE是△BCD的中位线,

所以OE=■BC。

所以△DOE的周长=OD+OE+DE=■BD+■(BC+CD)=6+9=15,即△DOE的周长为15。

故答案填15。

点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时,同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分”“平行四边形的对边相等”的性质。

四、证明角相等

例4(2013年浙江省衢州市中考题)如图4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分别交AD、BC于E、F,求证: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四边形BFDE的对角,所以只要证明四边形BFDE是平行四边形即可。

证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分别平分∠ABC与∠ADC,所以∠3=■∠ABC,

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四边形BFDE是平行四边形。

所以∠BED=∠BFD。

点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。

五、证明线段相等

例5(2013年四川省泸州市中考题)如图5,已知?荀ABCD中,F是BC边的中点,连接DF并延长交AB的延长线于点E。求证:AB=BE。

分析根据平行四边形性质得出AB=DC,AB∥CD,可推出∠C=∠FBE,∠CDF=∠E,可以证明△CDF≌△BEF,从而推出BE=DC,即可证明。

证明因为F是BC边的中点,所以BF=CF。

因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,AB∥CD。

所以∠C=∠FBE,∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF(AAS),所以BE=DC。

因为AB=DC,所以AB=BE。

点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用,解题的关键是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6(2013年四川省达州市中考题)如图6,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有?荀ADCE中,DE最小的值是()

A.2 B.3 C.4 D.5

解析由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知,当OD⊥BC时,DE线段取最小值。

因为在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,

所以AC=■=5。

因为四边形ADCE是平行四边形,

所以OD=OE,OA=OC=2.5。

所以当OD取最小值时,DE线段最短,此时OD⊥BC。

所以OD=■=1.5,

所以ED=2OD=3。

故答案选B。

点评本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识。解答本题的关键,是利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质。

七、综合问题

例7(2013年云南省中考题)如图7,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列结论正确的是()

A.S■ABCD=4S△AOB

B.AC=BD

C.AC⊥BD

D.?荀ABCD是轴对称图形

分析根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可。

解因为平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

所以AO=CO,DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB,

所以S■ABCD=4S△AOB,故A选项正确。

无法得到AC=BD,故B选项错误;无法得到AC⊥BD,故C选项错误;■ABCD是中心对称图形,故D选项错误。

故答案选A。

点评本题主要考查了平行四边形的性质,正确把握平行四边形的性质是解题关键。

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