古传运，胡 攀

(四川文理学院数学与财经学院，四川达州635000)

非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性

古传运，胡 攀

(四川文理学院数学与财经学院，四川达州635000)

利用带有扰动的混合单调算子不动点定理,研究了非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性. 主要结论不仅保证了正解的存在唯一性, 而且能够构造一迭代序列去逼近此解.

分数阶微分方程; 边值问题; 正解; 存在唯一性;混合单调算子;不动点定理

0 引言

分数阶微分方程广泛应用于现实生活的诸多领域,例如物理, 力学,化学,工程, 生物科学和经济学等.[1-5]近年来,众多专家学者利用Leray-Schauder理论和锥上的不动点定理等理论,深入研究了带有各种边值问题的非线性分数阶微分方程正解的存在性和多重性,并取得了重要的研究成果.[6-10]

文献[11]利用锥上的不动点定理研究了非线性分数阶微分方程边值问题:

(*)

本文主要的工作是改进和推广文献[11]的主要结论. 利用新的带有扰动的混合单调算子不动点定理,得到了问题(*) 正解的存在唯一性.同时, 能够构造一迭代序列去逼近此唯一解.

1 预备知识

定义 1.1[3]对于定义在[0,)上的函数f(x),表达式

称为标准的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分,等式的右端在[0,)有定义,其中Γ(α)表示Gamma函数.

定义 1.2[3]对于定义在[0,)上的函数f(x),表达式

称为标准的α>0阶Riemann-Liouville分数阶导数,等式的右端在[0,)有定义,其中n=[α]+1,[α]表示数α的整数部分.

引理1.1[11]给定y∈C[0,1]且1<α≤2.分数阶微分方程

(1.1)

的唯一解是

其中

G(t,s)=

(1.2)

这里称G(t,s)是分数阶微分方程边值问题(1.1)的Green函数.

引理1.2[7]引理1.1中的Green 函数G(t,s)具有如下性质:

(1)G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是连续函数且G(t,s)≥0,∀(t,s)∈[0,1]×[0,1];

(1.3)

接下来,我们再给出一些下文所要用到的序Banach空间中的一些基本概念和不动点定理,详细讨论可见[12]及其参考文献.

假设(E,||·||)是实Banach 空间,P为E中的非空闭凸子集,θ为E中的零元素.如果P满足

(i)x∈P,λ≥0⟹λx∈P;

( ii)x∈P,-x∈P⟹x=θ,

则称P为E中的一个锥.由P引出E中的半序关系如下:x,y∈E,x≤y当且仅当y-x∈P.若x≤y且x≠y, 则记作x

记P0={x∈P|x为P的内点}, 如果P0非空,则称锥P为体锥. 若存在常数N>0,使得对任意x,y∈E,θ≤x≤y,都有||x||≤N||y||,则称锥P是正规的, 其中N叫做锥P的正规常数.易知,对任意正规锥,正规常数N≥1.若x≤y,就有Ax≤Ay,则称一个算子A:E→E是递增的.

任意x,y∈E,若存在λ>0和μ>0,使得λx≤y≤μx,则称x～y.显然 ～ 是一个等价关系. 给定w>θ(即w≥θ且w≠θ), 记Pw={x∈E|x～w},易知当∀w∈P,有Pw⊂P且当w∈P0时,Pw=P0.

定义 1.3[12]A:P×P→P称为混合单调算子,如果A(x,y)关于x是单调递增的和关于y是单调递减的,即ui,vi(i=1,2)∈P,u1≤u2,v1≥v2有A(u1,v1)≤A(u2,v2).如果A(x,x)=x,称x∈P是A的不动点.

定义 1.4[12]设β是一个实数且0≤β<1.A:P→P称为β-凹算子,如果A满足

A(tx)≥tβA(x),∀t∈(0,1),x∈P.

(1.4)

引理 1.3[12]设w>θ,β∈(0,1).A:P×P→P是一个混合单调算子且满足

A(tx,t-1y)≥tA(x,y),∀t∈(0,1),x,y∈P

(1.5)

和B:P→P是一个递增的β-凹算子. 假设

(i) 存在w0∈Pw使得A(w0,w0)∈Pw和Bw0∈Pw;

(ii) 存在一个常数δ0>0使得A(x,y)≤δ0Bx,∀x,y∈P.

则有:

(1)A:Pw×Pw→Pw,B:Pw×Pw→Pw;

(2) 存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得

rv0≤u0

(3)算子方程A(x,x)+Bx=x在Pw中存在唯一解x*;

(4)对任意初值x0,y0∈Pw,构造一迭代序列

xn=A(xn-1,yn-1)+Bxn-1,yn=A(yn-1,xn-1)+Byn-1,n=1,2,...,

则当n→时有xn→x*和yn→x*.

注 1.1[12]当A是零算子时, 引理 1.3 也是成立的.

2 主要结果

我们利用引理1.3 研究非线性分数阶微分方程边值问题(*), 并得到关于其正解存在唯一性的新结果.

在本文中, 我们所讨论的空间是Banach空间C[0,1],且赋有标准范数‖x‖=sup{|x(t)|∶t∈[0,1]}.注意到这个空间可以赋予偏序,定义为

∀x,y∈C[0,1],x≤y⟺∀t∈[0,1],x(t)≤y(t).

令P={x∈C[0,1]|x(t)≥0,t∈[0,1]},显然P是Banach空间C[0,1]中的正规锥且正规常数是1.

定理2.1 假设

(H1)f:[0,1]×[0,)×[0,)→[0,)是连续函数且g:[0,1]×[0,)→[0,)也是连续函数;

(H2)当固定t∈[0,1]与v∈[0,+)时,f(t,u,v)关于u∈[0,+)是单调递增的和当固定t∈[0,1]与u∈[0,+)时,f(t,u,v)关于v∈[0,+)是单调递减的;同时当固定t∈[0,1]时,g(t,u)关于u∈[0,+)是单调递增的;

(H3)f(t,λu,λ-1v)≥λf(t,u,v),

∀t∈[0,1],λ∈(0,1),u,v∈[0,)

和存在一个常数β∈(0,1)使得

g(t,μu)≥μβg(t,u),∀t∈[0,1],μ∈(0,1),u∈[0,);

(H4)f(t,0,1)≢0,∀t∈[0,1]且存在一个常数δ0>0使得

f(t,u,v)≤δ0g(t,u),t∈[0,1],u,v≥0.

则有:

(1)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rv0≤u0

其中w(t)=tα-1(1-t),t∈[0,1]和G(t,s)即为式(1.2).

(2)非线性分数阶微分方程边值问题(*)在Pw中存在唯一正解u*.

(3)对任意初值x0,y0∈Pw,构造一迭代序列

从而当n→时有xn(t)→u*(t)和yn(t)→u*(t).

证明:由引理1.1, 问题(*)与下列的一个积分方程等价:

其中G(t,s)有式(1.2)给出.

定义两个算子A:P×P→E和B:P→E为

容易证明u是问题(*)的解当且仅当u=A(u,u)+Bu.

由条件(H1)和引理1.2, 可知A:P×P→P和B:P→P. 下面,我们验证算子A,B满足引理1.3的所有条件.

首先, 我们证明算子A是一个混合单调算子. 事实上, 对于ui,vi(i=1,2)∈P,且

u1≥u2,v1≤v2有u1(t)≥u2(t),v1(t)≤v2(t),t∈[0,1].从条件(H2)和引理(1.2)可知,

即,A(u1,v1)≥A(u2,v2).类似可证,B是递增的.

其次,我们证明算子A满足条件(1.5). 对任意λ∈(0,1)和u,v∈P,由(H3)可知

即对于λ∈(0,1),u,v∈P,有A(λu,λ-1v)≥λA(u,v).所以算子A满足条件(1.5). 同样,对任意μ∈(0,1)和u∈P,由(H3)可知

即对于μ∈(0,1),u∈P,有B(μu)≥μβBu.所以算子B是一个β-凹算子.

再次,我们证明A(w,w)∈Pw和Bw∈Pw, 其中w(t)=tα-1(1-t),t∈[0,1].

由条件(H1), (H2)和引理1.2,对于t∈[0,1],则有

从条件(H2)和(H4),可知

因为f(t,0,1)≢0,t∈[0,1], 所以

从而令

因此l1w(t)≤A(w(t),w(t))≤l2w(t),t∈[0,1]; 故我们有A(w,w)∈Pw.类似可证

易知Bw∈Pw.因此引理1.3的条件(i)满足.

接下来我们证明引理1.3的条件(ii) 也满足.

对于u,v∈P和∀t∈[0,1],由条件(H4)知,

则可得A(u,v)≤δ0Bu,u,v∈P.

最后, 利用引理1.3可得:存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得

rv0≤u0

算子方程A(u,u)+Bu=u在Pw中存在唯一解u*;对任意初值x0,y0∈Pw,构造一迭代序列

xn=A(xn-1,yn-1)+Bxn-1,yn=A(yn-1,xn-1)+Byn-1,n=1,2,...,

则当n→时有xn→u*和yn→u*.即,存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rvo≤u0

其中w(t)=tα-1(1-t),t∈[0,1]和G(t,s)即为式(1.2);非线性分数阶微分方程边值问题(*)在Pw中存在唯一正解u*;对任意初值x0,y0∈Pw,构造一迭代序列

从而当n→时有xn(t)→u*(t)和yn(t)→u*(t).

推论2.1 当f(t,u,v)≡0, 假设函数g满足定理2.1的条件且g(t,0)≢0,t∈[0,1],则有

(I)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rv0≤u0

(II)非线性分数阶微分方程边值问题

在Pw中存在唯一正解u*;

(III)对任意初值x0,y0∈Pw,构造一迭代序列

从而当n→时有xn(t)→u*(t)和yn(t)→u*(t).

注 2.1 由注1.1和定理2.1可知, 推论 2.1易证.

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[责任编辑 邓 杰]

The Existence and Uniqueness of Positive Solution for Nonlinear Fractional Differential Equation Boundary Value Problem

GU Chuan-yun, HU Pan

(Mathematics and Finance-Economics Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

In this paper, by using of new fixed point theorem for mixed monotone operator with perturbation, the existence and uniqueness of positive solution for nonlinear fractional differential equation boundary value problem is concerned. Our results can not only guarantee the existence and uniqueness of positive solution, but also be applied to construct an iterative scheme for approximating the solution.

fractional differential equation; boundary value problem; positive solution; existence and uniqueness; mixed monotone operator; fixed point theorem

2013-10-09

四川省教育厅一般项目(14ZB0309)；四川文理学院校级重点科研项目(2012Z004Z)

古传运(1982—),男,河南周口人.助教,硕士,主要从事非线性泛涵分析及其应用研究.

O241.82

A

1674-5248(2014)02-0011-05