孙志玲,孙燕

(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古 通辽 028000)

多重调和Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子

孙志玲,孙燕

(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古 通辽 028000)

完全刻画多重调和Bergman空间上Toeplitz算子和Hankel算子的紧性.运用紧Toeplitz算子这个结果,建立了Toeplitz代数和小Hankel代数的短正合列,推广了单位圆盘上相应的结果.

多重调和Bergman空间;紧Toeplitz算子;Toeplitz代数;小Hankel代数

1 引言

令 Cn为 n维复向量空间,Bn和 Sn分别代表 Cn中的单位球和单位球面.对 Cn中的点 z=(z1,···,zn)和 ξ=(ξ1,···,ξn),令其中是 ξj的复共轭,并且令表示分量在非负整数 N0中的 n-元数组组成的集合.对一个多重指标和如果令|α|=α1+···+αn代表它的长度,并且 α!=α1!···αn!.对N0n中两个多重指标α=(α1,α2,···,αn)和β=(β1,β2,···,βn), α≽β表示

α⊥β表示

定义

并且,当α≽β时,有

L2(Bn,dv)是Bn上Lebesgue平方可积的Hilbert空间,其上的内积定义为:

其中dv是Bn上通常正规化球测度.

令 P代表 L2(Bn,dv)到上的正交投影.对 ϕ∈L∞(Bn,dv),Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子分别定义为:

其中I是恒等算子.

一个带有符号ϕ的简化的(little或者reduced)Hankel算子hϕ定义为:

其中U是L2(Bn,dv)→L2(Bn,dv)的酉算子,并且

通过直接的验证,下面命题成立.

命题 1.1下列关系式是成立的

令 Q是 L2(Bn,dv)到上的正交投影.多重调和 Bergman空间上的带有符号ϕ的Toeplitz算子和Hankel算子分别定义为:

文献 [1]运用把单位圆盘上调和 Bergman空间上的 Toeplitz算子分解成 Bergman空间上的 Toeplitz算子和小 Hankel算子的技巧,刻画了单位圆盘的调和 Bergman空间上的紧Toeplitz算子.利用这个结果,建立了相应的Toeplitz代数和Hankel代数的短正合列.本文在单位球Bn上的多重调和Bergman空间上研究相应问题.

文献 [2]完全描述了单位球Bergman空间上 Toeplitz算子的紧性.文献 [3]给出了单位球和多圆盘上紧Hankel算子的一些等价条……