王丽丽，朱伟义

（浙江师范大学 数理信息工程学院，浙江金华321000）

有关次幂原数函数的若干性质

王丽丽，朱伟义

（浙江师范大学 数理信息工程学院，浙江金华321000）

对于任意给定的正整数n,p次幂原数函数Sp（n）表示使pn|m！的最小正整数m,即Sp（n）=m in{m:pn|m！}，其中p为素数。对给定的正整数k，用初等方法研究了函数Sp（nk）与Sp（n）之间的关系，以及Sp（n）的值与项数n的对应关系，得到了。

p次幂原数函数；初等方法；渐近公式

1 引言及定理

任意给定一个素数p,对于任意的正整数n,定义p次幂原数函数Sp(n)为使pn|m！的最小的正整数m,即Sp(n)=m in{m:pn|m！}，例如，S2(1)=2, S3(1)=3,S2(2)=S2(3)=4,S3(2)=6,S3(3)=S3(4)=9,……。数论专家F.Smarandache教授在文献[1]中建议研究序列{Sp(n)}的相关性质。不少作者已经对该问题进行了研究,并得到了一些有意义的结论[1-5]。例如,文献[2]给出了一个有关序列{Sp(n)}的渐近公式,即对任意给定的素数p和任意正整数n,有:

文献[3]得出结论:对于任意实数x≥2,设p为一个素数,那么有

文献[4]研究了序列{Sp（n）}与Riemann zeta-函数之间的关系,给出了有关函数Sp(n)的一个恒等式,即对于任意Res＞1的复数s和素数p,有

这里ζ（s）为Riemann zeta-函数。

文献[5]研究了函数Sp(n2)与Sp(n)的关系,给出了对任意给定一个素数p及正整数n，当,有

其中[x]表示x的整数部分。

本文首先对文献[5]做了进一步推广，研究了函数Sp(nk)与Sp(n)之间的关系，再进一步研究了序列{Sp(n)}中Sp(n)的值与项数n的对应关系,并且给出以下两个的结论：

定理1任意给定一个素数p，对于任意正整数n和k,k≥2，如果,则有，其中[x]表示x的整数部分。

定理2任意给定一个素数p,对任意正整数k,q,若不整除q,则有唯一的正整数n使得Sp(n)+ Sp(n+1)=…=Sp（n+k-1）=pkq成立,且有。

2 引理及其证明

为了证明结论，先证明两个引理:

引理1对于任意素数p和正整数2≤l≤p-1，有

a)Sp(n)=np,1≤n≤p；

b)Sp(n)=(n-l+1)p,(l-1)p+l-2＜n≤lp+l-1。

证明证明参见文献[5]。

引理2对于任意素数p和正整数k, k≥2,如果pk-2＜n≤pk，有Sp(n)=（n-pk-1+ 1）p。

证明要证明引理2,只须证明pn||（（n-pk-1+ 1)p)!。由条件pk-2＜n≤pk,则有

于是就有

从而当pk-2＜n≤pk时,有pn||((n=pk-1+1)p)!,这就证明了

Sp(n)=（n-pk-1+1）p。

引理3设n是正整数，p是素数，再设α满足pn||n！，那么。

证明证明参见文献[6]。

3 定理的证明

定理1的证明假设Sp(nk)=up,根据引理3以及Sp(n)的定义,有

分两种情况进行讨论。

第一种情况，如果(l-1)p+l-2＜nk≤lp+l-1(l= 2,3,…，p-1),则由引理1可知

又由假设Sp(nk)=up，从而有u=nk-l+1。注意到。则(1)式就成为。

第二种情况，如果p2-2＜nk≤p2,根据引理2就有

结合假设Sp(nk)=up和(3)式，则有u=nk-p+1，与引理2的证明类似，并注意到。所以(1)式就成为。

由此，可以得出当p＜nk≤p2时，有

定理2的证明设m=pkq,易知在数列{Sp(n)}中m重复出现了k次。故当p和m给定时，上述方程有唯一的解。

由Sp(n)的定义可知，

所以，任意给定一个素数p和一个正整数m(m= kp)，可以确定m在序列{sp(n)}中所对应的项数n。

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M]. Chicago:Xiquan Publishing House,1993:41-42.

[2]Zhang W P,Liu D S.On the primitive numbers of power p and its asymptotic property[J].Smarandache Notions Journa l,2002,13:171-175.

[3]Yi Y.On the primitive numbers of power p and its asymptotic property[J].Scientia Magna,2005,1:175-177.

[4]Xu Z F.Some arithmetical properties of primitive numbers of power p[J].Scientia Magna,2006,2:9-12.

[5]Yang CD,Chen Guohui.The relationship between and[J].Pure and Applied Mathematics,2007,3:31-34.

[6]Pan CD,Pan Chengbiao.The Elementary Number Theory[M].Beijing:Beijing University Press,2003:64.

(责任编辑：李堆淑）

Some Properties of Prim itive Function of Power

WANG Li-li，ZHU Wei-yi
(School of Mathematical lnformational Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321000,Zhejiang)

Let p be a fixed prime,for any positive integer n,the primitive function of power p is defined as the smallest positive integer m such that pn|m！.That is,Sp（n）=m in{m:pn|m！}，where p is a prime.Some properties of Sp（n）is studied by using elementary methods,and two conclusions ofare obtained.

primitive function of power p;elementary method;asymptotic formula

O156.2

：A

：1674-0033（2014）04-0025-02

10.13440/j.slxy.1674-0033.2014.04.06

2014-04-11

国家自然科学基金项目(11271331)

王丽丽，女，浙江金华人，硕士研究生