杨林晓,赵侯宇

(重庆师范大学数学学院,重庆401331)

三阶柯西差分方程在几类群上的解

杨林晓,赵侯宇

(重庆师范大学数学学院,重庆401331)

在几类群上讨论了三阶柯西差分方程解的存在性问题，将二阶柯西差分方程的已有结论进一步推广到三阶的情况,并给出在不同群上的一般解.

函数方程;群;柯西差分

1 引言与预备知识

设(G,…)是一个群,(H,+)是一个交换群,e∈G和0∈H分别表示群G和群H上的单位元.若映射f:G→H,则f的柯西差分为C(m)f定义为:

其中一阶柯西差分C(1)f简写为Cf.

关于柯西差分方程的讨论已有许多结果[1-7],文献[7]中,作者讨论了二阶柯西差分方程在群上的解,本文在此基础上进一步考虑方程:

在几类群上的解.其中xi∈G,i=1,2,3,4.事实上,此方程等价于f的三阶柯西差分方程,即C(3)f=0.(2)式的一般解可用下式表示:

且有

类似于文献[7],有如下两个引理,此处省略其证明过程.

引理1.1设(G,…)是一个群,(H,+)是一个交换群,且f:G→H.若f满足(2)式,则有以下结论成立:

其中∀x,y,z,µ,ν∈G,n,n1,n2∈

注1.1方程(4)来源于C(3)f=0,由(1)式可知C(2)f(…,y,z)是一个态射,C(2)f对于它的第二个元素和第三个元素同样也是一个态射,即从C(2)f的定义中也可推出(3)式.

下面等式∀f:G→H均成立:

引理1.2如果f∈Ker C(3)(G,H),则

其中xi∈G和ni∈,i=1,2,………,l.该引理的证明类似于文献[2],故省略此处证明.

注1.2上述引理是(4)式的推广,如果在(5)式中令l=2,x1=x2=x,则由(5)式可得到(4)式,此时n=n1+n2.事实上,

其中∀n1,n2∈.

2 方程(2)在n阶对称群Sn上的解

考虑方程(2)在G=Sn时的情况.此时,当n=1和n=2的情形是平凡的,不妨设n≥3.若f∈Ker C(3)(G,H),由(3)式知C(2)f是三态射,且H是一个交换群,因此

其中∀x,y,zi∈Sn,π是任意一个n级排列.类似地有,

其中∀x,y,z,xi,yi∈Sn,π是任意一个