燕必成 高永祥 陈小红

摘要：牛顿迭代法是方程求根中的一种较快捷的迭代方法，但遇到较复杂的方程时计算量较大。本文采用了MATLAB编程来实现牛顿迭代法，并给出了具体的计算例子。

关键词：牛顿迭代法 MATLAB编程 算法思想

1 问题的提出

牛顿迭代法收敛速度快，但每次都要求导，求逆，计算量相当大。为了减少计算量，引入简化的牛顿迭代法。

2 算法思想

以前我们解一元方程f（x）=0时采用过牛顿法，其几何意义是在根x*的附近取点x0作为方程的近似值，如图1-1所示，过曲线y=f（x）上的点（x0，f（x0））作切线，以它作为 y=f（x）的近似。切线与x轴的的交点x1作为根x*的第二次近似，不断作下去，便得到迭代公式

xk+1=xk-■ k=0，1，2…

当f（x）满足一定条件下，迭代序列{xk}收敛到x*。

解一元方程f（x）=0的牛顿法的主要思想是将非线性函数线性化。因此仿照一元方程的情形，就得到非线性方程组的牛顿迭代法。

令

则方程组

设（x1（k），x2（k），…，xn（k））是方程组（2-1）的一组近似解，把它的左端在（x1（k），x2（k），…，xn（k））处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（2-1）的近似方程组：

这是关于Δxi（k）=xi-xi（k）（i=1，2，…，n）的线性方程组，如果它的系数矩阵（见2-3）：

非奇异，则可解得（见2-4）：

矩阵（2-3）称为向量函数F（x）的雅可比矩阵，记作F′（x）。又记x■■=xi■+Δxi（k）。

3 算法程序

其程序为：

%ndf.m

function ndf=ndf（x）

clc；

disp（' MATLAB编的简化牛顿迭代法程序 '）

disp（' 浙江机电职业技术学院机械工程学院 '）

disp（' -------------------------------------------------------------------------------------- '）

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x=input（'请以[x1，x2，...]的形式输入未知变量x='）；

F=input（'请以[ ； ；...]的形式输入非线形方程组的矩阵F（x）='）；

x0=input（'请以行的形式输入未知变量的初始值x0='）；

n=length（x）；%确定未知变量的个数

g=jacobian（F，x）；%产生雅可比矩阵

F0=subs（F，x，x0）；%给方程组的矩阵置初值

g0=subs（g，x，x0）；%给雅可比矩阵置初值

if det（g0）==0；

disp（' 不符牛顿迭代法的条件！！！'）

break

end

4 总结

牛顿迭代法收敛速度快，但要求导，求逆。计算的结果受初值，迭代次数（或精度要求）的影响比较大，如果求导后代入初值，如结果为零，则无法迭代。因而当求导后结果为零时，必须寻求另外的方法来计算。

参考文献：

[1]云磊.牛顿迭代法的MATLAB实现[J].信息通信，2011（6）.

[2]倪健，马昌凤.解非线性方程牛顿迭代法的一种新的加速技巧[J].广西科学院学报，2010（1）.

[3]王霞，张启虎.数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨[J].天中学刊，2010（5）.