随机需求下基于提前期变化对供应链库存的优化决策

2014-07-14赵永全徐子慧

中小企业管理与科技·中旬刊 2014年6期

关键词：库存

赵永全+徐子慧

摘要：研究库存优化模型时有若干考虑因素，本文基于经济学中营销研究观，考虑随机需求下提前期的不确定与否对供应链库存优化的影响，并基于此建立缺货回补情况下的最佳订货量Q和再订货点R的库存决策优化模型。

关键词：库存（Q，R）库存模型提前期

1 概述

著名供应链专家马丁·克里斯多弗曾说：“真正的竞争不是企业与企业之间的竞争，而是供应链和供应链之间的竞争。”这就强调供应链系统优化和运作过程整合的重要性。其中，众多企业不能摒弃的库存又是供应链增值的决定性环节之一。在实际的企业操作中，随机的需求和提前期是影响库存优化与决策的主要驱动因素，如何有效的优化与决策供应链库存的问题，成为影响供应链增值的关键因素之一。就此，本论文基于随机需求的（Q，R）库存模型（如图1），分别考虑两种情况——提前期为常量和提前期为特定分布时——的供应链库存优化与决策。以下所有模型考虑的产品均为单一的功能型产品，单位产品价格为p，并且考虑缺货要补。

图1 （Q，R）库存控制策略

2 模型的符号与假设

2.1 模型的基本假设如下：

假设1 研究基于一次性订货模型，即一个提前期内仅有一次订货，不发生订货合同交叉问题[1]；

假设2 计划期内的平均需求量为D，单位时间内的需求X服从密度函数为？渍（x），分布函数为？准（x）的正态分布，其中均值为？滋D，标准差为σD；

假设3 库存物品采取连续盘点方式，一旦库存水平低于再购点R，则发出订单[2]；

假设4 假设整个两级供应链系统允许缺货，但所缺货量在到货时全部补上；

假设5 假设除库存成本外所产生的其他一切成本为M。

2.2 符号说：

h——单位时间内的库存持有成本（货币/数量单位）

k——固定订货成本（货币/数量单位）

b——单位物品固定的缺货成本（货币/数量单位）

P（Q，R）——总利润（货币）

G——总收入（货币）

C（Q，R）——总库存成本（货币）

B——平均缺货量

OF——平均订货频率

D——平均需求量

I——平均库存

L——提前期（时间单位）

Q——订货量

R——再订货点

3 模型的建立

首先，我们将库存的一个完整周期T划分成两部分（如图2），一部分是从T周期起始点到订货点t，此部分为库存正常周期Ⅰ；第二部分是从订货点t到货点t+L，该部分为库存补充周期Ⅱ，在划分好周期T后，我们进一步将库存补充周期Ⅱ再分为两部分，第一部分的库存是被持有的Ⅱ（1）；第二部分出现缺货Ⅱ（2）。接下来的所有模型计算均基于以上库存补充周期的两部分进行分析。

3.1 提前期为常量的库存优化模型

由于服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布。[4]因此固定提前期L0内，需求X仍然服从密度函数为？渍（x），分布函数为？准（x）的正态分布，此时，需求期望值为？滋D■=？滋DL0，方差为σD■2=σD2L0。则：

根据前提假设，可以得到一定时间内的平均订货频率：OF=■ （1）

在一个周期内，部分Ⅰ和部分Ⅱ（1）中不存在缺货量，即缺货量为0；部分Ⅱ（2）中出现缺货，所以平均缺货为：

BT=■ （x-R）？渍（x）dx （2）

则平均总缺货为：B=■■ （x-R）？准（x）dx （3）

同样，在一个周期内，部分Ⅰ和部分Ⅱ（1）中均存在库存；部分Ⅱ（2）中无库存。此时在计划期内的平均库存Ⅰ为：I=■ （R+■-X）？渍（x）dx （4）

=R+■-？滋D■ （5）

因此，得总库存成本为：

C（Q，R）=■+h（R+■-？滋D■）+■■（x-R）？准（x）dx （6）

同时，不考虑其他收入来源，总收入为：G=PD （7）

因此，固定其他成本情况下，总期望利润为：

P（Q，R）=G（C（Q，R）+M）（8）

将（6）、（7）式代入（8）式，为了求得（8）式中的总利润最大，接下来我们分别对P（Q，R）关于Q，R求偏导数，并令■=0，■=0即：

■=-■+■-■■（x-R）？准（x）dx=0 （9）

■=h-■■？准（x）dx=0 （10）

则，最优订货批量Q*为：

Q=■ （11）

■？准（x）dx=■ （12）

3.2 随机提前期的库存优化模型

以上研究是基于提前期为固定值时随机需求的库存模型，若我们更改提前期条件，将会转化为更为复杂的模型。这里，我们在现有假设的基础上，更改有关提前期的假设，即假设需求和提前期的随机变量是相互独立的。其中，设提前期L服从密度函数为V（L），分布函数为V（L）的正态分布，其中，提前期的均值为？滋L，均方差为σL2。

由于服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布。[4]因此近似地我们认为在随机提前期V（L）内，需求XL依然服从密度函数为f（XL），分布函数为F（XL）的正态分布。其中，需求期望值？滋D■=？滋D？滋L；方差σD■2=（？滋DσL）2+？滋LσD2。则总库存成本为：

C（Q，R）=■+h（R+■-？滋D■）+■■（x-R）f（xL）dxL （13）

将（13）式代入（8）式，同理，为了求得总利润最大，接下来我们分别对P（Q，R）关于Q，R求偏导数，并令■=0，■=0得：endprint

Q=■ （14）

■f（xL）dxL=■ （15）

4 供应链库存优化与决策

紧接着，对于上述所建（一）、（二）模型的可行性，我们进行如下分析验证。

我们应用下述迭代方法对式（11）、（12）、（14）和（15）进行求最优解上述方程组，具体操作如下所示：

步骤1 取Q1为EOQ模型[3]下的最佳订货批量，即Q1=■；

步骤2 令Q=Q1代入式（12）或（15）中，求出R1；

步骤3 令R=R1代入式（11）或（14）中，求出Q2；

步骤4 再令Q=Q2代入式（12）或（15）中，重复步骤2和步骤3，迭代到收敛为止，求出最优订货点R*和最佳订货量Q*。

首先进行前提假定：■=780件/年，h=20元/件，k=200元/订单，b=50元/件，p=120元/件，M=8000元，一年以52周计算，？滋D=15件/周，σD=7件/周。

4.1 基于模型（一）检验库存优化决策的可行性

这里我们基于前提假定，研究提前期分别固定为3周和6周时，根据式（12）与（13）进行计算比较库存决策优化的有效性，结果如表1所示：

表1 基于模型（一）检验库存优化决策的可行性

■

从表1中我们可以看出，若在提前期相同情况下，企业如果单方面增大订货量或再订购点对库存成本和总利润都有影响，其中，订货量与再订购点的改变都会增加库存成本，降低总的利润。在考虑到缺货成本后，采用模型（一）可以很好地均衡Q和R，找到式（8）的最大值时，最佳的订货点R和订货量Q*，此时，总库存成本最小，总利润最大。其中，库存成本利润率为库存成本与总利润的比值。

4.2 基于模型（二）研究提前期变化时对库存决策的影响。

基于前提假定，我们新增假定：以下研究的提前期变量均服从密度函数为V（L），分布函数为V（L）的正态分布，其中：第一组提前期的均值同为？滋L=3周时，研究提前期均标准差分别为σ■=0.5，σ■=2时对库存优化决策的影响；第二组提前期的均标准差均为σ■=2时，研究提前期均值分别为？滋L=3周，？滋L=6周时对库存优化决策的影响。根据式（15）与（16）进行计算比较，结果如表2所示：

表2 基于模型（二）随机提前期对库存决策影响

■

从表2中，我们对比不同提前期变化程度下的库存成本利润率，我们可以更为直观的看出在提前期的不确定情况下，当提前期波动较大时，库存成本利润率相对较高，此时在考虑库存决策时，通过增加再订购点R来平衡波动，此现象在不同提前期变量之间更为显著。通常的解决办法是各节点供应链企业加强信息沟通，削弱提前期的影响率。

5 结论与展望

在强调供应链增值的时代，能否制定最优库存决策，成为企业与企业间竞争的筹码之一。良好的库存的控制可以大大增加企业收益，同时也更好地缩短供应链系统的整体周期，满足供应链时间竞争的要求。在以上对比研究中，我们发现提前期的改变对利润和库存优化具有的深远影响。因此，企业在考虑优化库存时，适当采取措施削弱提前期的影响力度。各供应链节点企业间通过建立战略联盟，实现信息合理共享，这样做不仅可以优化时间，还可以削弱“蝴蝶效应”。基于当前供应链管理环境下，库存的优化不再是仅仅考虑需求随机时的订货模型，[5]逐渐地库存优化过程中考虑的因素扩展到时间、服务水平、周转率等其他影响因素，一些文献在研究提前期时增加了服务水平因素，更好的考虑了缺货量的影响因素。这里，只考虑所有缺货均补上的情况，未对缺货时顾客的满意度进行研究。但随着市场的不断发展，市场的竞争必然会涉及到服务水平的评价，因此以后的研究重点将放在延迟需求和顾客服务水平对库存决策的影响。

参考文献：

[1]蒋志明，时明荣.基于随机需求、随机提前期的（Q、R）库存模型[J].科技和产业，2012（11）.

[2]陈鋩，龚存宇.可控前置时间的连续盘点联合库存策略研究[J].计算机工程与应用，2012（31）.

[3][美]保罗·齐普金[著]，马常松[译].库存管理基础[M].中国财政经济出版社，2013年6月第1版.