中考数学中折叠问题如何解
2014-07-09华腾飞
华腾飞
近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解.下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助.
一、翻折三角形的一角
例1 .如图1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.
解析:如图1， 连接CD与EF交于O点.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.
由折叠知，∠COF = 90°.
∴∠DCB +∠CFE = 90°.
∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.
又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.
二、翻折矩形的一角
例2.如图2所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB = 2，则C′D的长为（）
A. 1B. 2 C. 3D. 4
解析: 根据矩形的对边相等，得CD = AB = 2，由折叠可知C′D = 2.故应选B.
三、翻折菱形的一角
例3.如图3所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A = 120°，则EF = ____ cm.
解析: 如图4所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.
∴∠BAO = 60°.
在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折叠知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线. ∴EF=■BD=BO =■cm.
四、翻折四边形的一角
例4.如图5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以OB为边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.
(1) 求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2) 如图6所示，将图6中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.
解析：(1)如图5，在Rt△OAB中，D为OB的中点.
∴DO = DA，
∴∠DAO =∠DOA = 30°.
∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO =∠COB = 60°，
∴∠EOA = 90°，
∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，
∴BC∥AE，
∴四边形ABCE是平行四边形.
(2)如图6， 由题意知OC = OB = 8.
设OG = x，则由折叠可知：
AG = GC = 8 – x.
∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，
∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.
在Rt△OAG中，由勾股定理可得：
OG2 + OA2 = AG2，
即x2 +（4■）2=（8-x）2.
解得x = 1，∴OG = 1.
练习：
如图7所示，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE : AC = 3 : 5.则■的值为（ ）
A.■B. ■C. ■D.■
答案：A
(作者单位：安徽省灵璧黄湾中学)
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近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解.下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助.
一、翻折三角形的一角
例1 .如图1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.
解析:如图1， 连接CD与EF交于O点.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.
由折叠知，∠COF = 90°.
∴∠DCB +∠CFE = 90°.
∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.
又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.
二、翻折矩形的一角
例2.如图2所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB = 2，则C′D的长为（）
A. 1B. 2 C. 3D. 4
解析: 根据矩形的对边相等，得CD = AB = 2，由折叠可知C′D = 2.故应选B.
三、翻折菱形的一角
例3.如图3所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A = 120°，则EF = ____ cm.
解析: 如图4所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.
∴∠BAO = 60°.
在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折叠知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线. ∴EF=■BD=BO =■cm.
四、翻折四边形的一角
例4.如图5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以OB为边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.
(1) 求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2) 如图6所示，将图6中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.
解析：(1)如图5，在Rt△OAB中，D为OB的中点.
∴DO = DA，
∴∠DAO =∠DOA = 30°.
∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO =∠COB = 60°，
∴∠EOA = 90°，
∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，
∴BC∥AE，
∴四边形ABCE是平行四边形.
(2)如图6， 由题意知OC = OB = 8.
设OG = x，则由折叠可知：
AG = GC = 8 – x.
∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，
∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.
在Rt△OAG中，由勾股定理可得：
OG2 + OA2 = AG2，
即x2 +（4■）2=（8-x）2.
解得x = 1，∴OG = 1.
练习：
如图7所示，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE : AC = 3 : 5.则■的值为（ ）
A.■B. ■C. ■D.■
答案：A
(作者单位：安徽省灵璧黄湾中学)
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近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解.下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助.
一、翻折三角形的一角
例1 .如图1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.
解析:如图1， 连接CD与EF交于O点.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.
由折叠知，∠COF = 90°.
∴∠DCB +∠CFE = 90°.
∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.
又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.
二、翻折矩形的一角
例2.如图2所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB = 2，则C′D的长为（）
A. 1B. 2 C. 3D. 4
解析: 根据矩形的对边相等，得CD = AB = 2，由折叠可知C′D = 2.故应选B.
三、翻折菱形的一角
例3.如图3所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A = 120°，则EF = ____ cm.
解析: 如图4所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.
∴∠BAO = 60°.
在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折叠知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线. ∴EF=■BD=BO =■cm.
四、翻折四边形的一角
例4.如图5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以OB为边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.
(1) 求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2) 如图6所示，将图6中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.
解析：(1)如图5，在Rt△OAB中，D为OB的中点.
∴DO = DA，
∴∠DAO =∠DOA = 30°.
∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO =∠COB = 60°，
∴∠EOA = 90°，
∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，
∴BC∥AE，
∴四边形ABCE是平行四边形.
(2)如图6， 由题意知OC = OB = 8.
设OG = x，则由折叠可知：
AG = GC = 8 – x.
∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，
∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.
在Rt△OAG中，由勾股定理可得：
OG2 + OA2 = AG2，
即x2 +（4■）2=（8-x）2.
解得x = 1，∴OG = 1.
练习：
如图7所示，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE : AC = 3 : 5.则■的值为（ ）
A.■B. ■C. ■D.■
答案：A
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