赵晓运ZHAO Xiao-yun

（台州学院机械工程学院，台州318000）

0 引言

导数是现代数学理论的基础，也是当代工程技术应用分析的有力工具之一。导数本身体现出变量间的关系或函数功能及其极限过程操作的思考，变数体现了运动，运动体现了物理世界的变化。在许多实际问题中，需要对物理世界中功能关系的变化进行分析和利用，导数、方向导数和梯度内涵的“数”和“形”对应着对物理世界的一定认识，对物理世界的应用起着指导和创造作用。正确理解它们的结论和含义，能够在广泛的工程技术应用中形成突破和创新，更好地利用物质世界，创造出更有用、更有效的物质世界。

1 导数及其含义

导数反映的是因变量和自变量的比率关系，导数本身是关于自变量变化方向的矢量，具有大小和方向，其几何形象是“斜率”。在工程实践中，若影响考察目标的因素中只有一个主因，其它因素可以不计它们的影响，便形成了单一因素的工程实践应用问题。在一元函数中，“斜率”的几何方向仅是与单一自变量变化方向相联系的，相应“斜率”的概念注重整体连续指向性，即考查各位置相对自变量的变化方向和整体变向指向情况。撇开其具体的物理和现实意义，主从变量之间的关系可以纯粹地用数量关系描述，进而可以用图形显示其属性含义，形成认识的“形象特征”，即“斜率”的概念。

2 方向导数及其含义

方向导数仍然是变化率的问题，方向导数是方向一定的变化量，只有大小，其几何形象描述仍然是“斜率”。在工程实践中，若影响考察目标的因素中可以近似认为有两个主因，其它因素可以不计影响，便形成了双因素的工程实践问题。由于增加了一个影响因素，因而影响域是一个平面，在这个影响域内，两个不同变量的变化趋势便决定了影响域内的方向，那么方向导数便是考查目标相对这个方向的变化趋势情况。撇开具体的物理意义，考察目标即相应的空间变量，在影响域两个变量的作用下，形成一个空间曲面“形象”，在该曲面任一位置可形成一个切平面，这个切平面上任意直线方向与平面域的夹角便反映了方向导数的“斜率”。由此可见，方向导数针对一个单一方向的变化率，反映空间变量相对于某一方向的变化情况，这一方向是由双因素联合而形成。若分别设x和y为两个主要影响因素，则方向导数的“斜率”可以理解为以点（x,y）为起点，沿xoy平面某一方向，从变量变化趋势的“坡度”大小，即该量在所给方向上变化趋势相对于xoy平面的倾斜程度。用方向导数来描述空间点的“斜率”，则体现了局部指向性。由于方向导数是给定方向后的变化率，所以，方向导数本身是标量，其值反映的是斜率的大小。

3 梯度及其含义

梯度反映的是空间变量变化趋势的最大值和方向。梯度是导数和方向导数的综合问题，从本质上说，梯度仍是“斜率”问题，对应的是切平面与平面域的夹角。切平面上任意方向与平面域的夹角中，只有一个方向与平面域的夹角最大，该夹角代表空间变量在平面域对应方向的方向导数所反映的“斜率”，斜率的大小为梯度的模，因而梯度实质是空间变量方向导数最大的方向的反映。空间变量在一位置点沿一个变量方向的方向导数为该变量的偏导数，“斜率”为该位置切平面上沿该变量的方向与该变量方向的夹角。空间变量在一位置点的梯度方向是空间变量相对于两个自变量所决定的平面的变化情况，体现的是空间变量在该位置所形成的切平面与两个主变量平面的夹角（二面角）。切平面与自变量平面的夹角的正切值即为该点梯度的大小（模）。所以，梯度是方向导数的线性组合，是有方向的。梯度的方向是从变量变化（方向导数）最大的方向，其值（模）为该方向的方向导数，对应的斜率是导数变化最大的方向与变量平面域的夹角即二面角。

4 工程应用的思考

导数、方向导数和梯度是从变量相对于自变量的变化率的描述，其共同特征是“斜率”或“坡度”的反映，都有特定“形象特征”的认识且具有关联性。方向导数是局部趋势的反映，是标量。导数和梯度则联系由局部到整体，并揭示整体趋势的反映，变量及其组合是有其变化趋势和方向的，导数和梯度是关于变量方向的矢量，同样是有大小和方向的。深刻、充分理解导数、方向导数和梯度的本质特征和相互之间的关联性，对于相应的工程应用问题起到指导和推动作用。许多实际问题，研究考察目标相对诸多影响因素的任一“方位”的变化情况，分析关联性，并对整体应用给出参考和指导。如定势移动、波动等诸多问题的分析，都需要用到对导数、方向导数和梯度等的形象认识和理论分析，进而形成工程手段去实现相关目的。液体定势和电力定势应用问题中，液流强度和电流强度反映的是液势和电势的变化趋势，因而，液流强度和电流强度与梯度有着直接联系，可理解为相应的强度（势能变化率）垂直于其等势面，且与势能增加方向相反。具体来说，在某点处的势能强度与该点处势能的负梯度方向相同。

总之，导数这一变化“趋势”的认识，可以应用到诸多领域。即可定性，亦可定量。用定性导出定量，用定量去实现定性。工程应用的本质特征就是运用所认识的技术手段，在变量变化的精度范围内，去近似实现工程的目标功能，为人类社会提供更优的服务。

5 结论与展望

数学理论来源于实践，其隐含的“形象特征”认识又能反作用于实践客体。纵观世界变化，各种现象及功能皆有“数”和“形”的对应机理，人们可以根据需要研究特殊的“数”和“形”的关系，通过控制“数量”的装置，创造出“连续数量”所显示的物质。著名数学家希尔伯特曾说：“数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合”。物质世界是“形象”客体的化身，是“形象源”的重组与显现。现代科学技术成就往往出现理论推导先于实际应用，掌握并利用这些理论需要对其“形象源”认识透彻、完整，方可全面、有效地指导实践。在实际应用中，将导数理论和空间几何学、空间运动学结合起来，甚至进行更大范围的推广，可以深层次地、更广泛地开辟为人类服务的手段和工具。比如，可以用导数和运动来描述曲线和曲面，进而进行生成和制造，也可以由一定形状的曲线和曲面来约束运动性质和状态，进而实现所需的物理功能。因此，对于有形象特征的数学认识，知其源，察其用，感其形，经过分析组合，必能够为工程技术应用提供“形象源”，进而推动工程技术创新和发展。

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