宋 敏，李洪儒，陈新睿，黄 龙，李 蓉，孙年春

非近轴光束下铌酸锂晶体的电光效应

宋 敏，李洪儒，陈新睿，黄 龙，李 蓉，孙年春*

（四川大学电子信息学院，成都610064）

为了研究电场一定时，光束在非近轴条件下铌酸锂晶体的电光效应，采用折射率椭球张量的循环坐标变换方法，理论上推导了光轴正交截面上折射率分布的解析式，讨论了折射率、相位延迟以及透射率与光束入射方向之间的关系，并且进行了实验验证，取得了透过率随光束与光轴夹角α的实验数据。结果表明，y方向加电场时，入射光小角度偏转将引起x方向感应折射率以及光束透射率的明显变化，而y方向的感应折射率不变；光束与光轴的夹角α对铌酸锂晶体电光性能的影响远远大于光矢在x-y平面与x轴正半轴的夹角β对其的影响；x方向加电场时感应折射率同y方向加电场时类似，但此时相位延迟更小，在0°～0.4399°夹角范围内，前者的透过率变化较后者慢，并且在0.45°之后呈现出交替变化的规律，当夹角为0.5°，0.680°等位置时，它们具有相同的透过率。这一结果对利用角度调节以改善铌酸锂晶体的电光性能具有一定的指导意义。

光电子学；横向电光效应；铌酸锂晶体；非近轴；循环坐标

引 言

铌酸锂（LINBO3）晶体作为一种优良的横向电光调制材料［1］，凭借其驱动电压低、插入损耗小、光谱工作范围宽、消光比高和易于大规模生产［2-3］等优点，在光通信［4］、光信号传输［5］、电光开关［6］等领域得到了广泛的应用。通常情况下铌酸锂晶体沿着光轴方向传播，并且在理论分析时不考虑自然双折射的影响［7］，但是，实际应用中光线与光轴完全校准是不可能实现的，这就会造成理论与实际之间存在误差。近年来，国内外已经有人利用耦合波［8］和折射率椭球［9-11］两种经典理论对该现象做了一定的研究，但是对于直流电压下，光束沿任意方向入射到LiNbO3晶体中时，感应折射率和光强透过率的变化关系还鲜见详细报道。本文中从折射率椭球方程出发，利用张量的循环坐标变换［12］方法，得出了x，y方向的感应折射率表达式，基于该公式研究了光束沿不同方向入射LiNbO3的横向电光特性，这对利用角度调节［13-14］以改善LiNbO3晶体的电光性能具有一定的指导意义。

1 基本理论

1.1电场沿y方向时LiNbO3晶体的感应折射率

对于铌酸锂晶体，可以将晶体的3个轴向分别用x，y和z来表示，当沿y方向加电场时，即E＝Ey，Ex＝Ez＝0，如图1所示，入射光Ii经过电光调制后的出射光束为Io，感应折射率椭球［15］表示为：

式中，no和ne分别为寻常光的折射率和非寻常光的折射率，γ22为电光系数。上式描述的是折射率椭球主轴与晶体光轴完全重合的理想情况，为了求出非理想情况下对应的折射率，就需要进行坐标变换。

Fig.1 Electro-optical intensity modulator

激光沿任意方向OP入射LiNbO3晶体，其波矢量为k，与晶体光轴（z轴）的夹角为α，在x-O-y平面的投影与x轴正半轴的夹角为β，OP垂直阴影截面，该截面是一个椭圆，长半轴OA和短半轴OB分别表示寻常光折射率no和非寻常光的折射率ne，如图2所示。设矢量k的坐标为（ξ，ξ－，ζ），其中ξ＝x＋iy，ξ－＝x－iy，ζ＝z。首先将（ξ，ξ－，ζ）绕z轴旋转β角，则有ξ＝eiβξ′，ξ－＝e－iβξ－′，ζ＝ζ′＝z；而使用笛卡尔坐标变换前后的关系为x＝x′cosβ－y′sinβ，y＝x′sinβ＋y′cosβ，z＝z′。

Fig.2 Coordinates ofwave vector k when the electric field is applied along y axis

从两个变换结果来看，循环坐标变化前后只与一个坐标变量β有关，简单明了，而笛卡尔坐标变换后的张量之间有交叉，冗长而且计算也不方便，因此本文中采用循环坐标变换的方法。

使用相同的方法将（ξ′，ξ－′，ζ′）绕y′轴旋转α角，整理变换项并将其代入（1）式再将其主轴化后的坐标为y‴，x‴，即可求得在y方向加电场时沿任意入射LiNbO3晶体的感应折射率，即：

1.2电场沿x方向时LiNbO3晶体的感应折射率

［9］可知，当在x方向加电场时，感应主轴绕光轴旋转了45°，因此，只需要令（2）式和（3）式中的β＝β′－45°，即可以得到x方向加电场的感应折射率，即：

1.3任意方向入射LiNbO3晶体的透过率

当入射光Ii与光轴存在夹角α时，入射面与出射面都会发生折射，因此入射光束Ii经过长度为L的晶体后的出射光束为Io，传播途径如图3所示。

Fig.3 Laser propagation in LiNbO3crystal

因此，激光在晶体中的实际光程L′为：

电光调制装置如图1所示，它由一对正交偏振器和一块LiNbO3电光晶体组成，电光晶体置于两个正交的偏振器之间，通过LiNbO3电光晶体后的相位延迟Δφ为：

故光强透过率为：

可见，感应折射率、出射光的相位延迟以及光强透过率随着入射光的角度变化而变化，因此只要传播方向波矢量k确定，就可以确定它们的性质。

2 角度对感应折射率分布以及透射率的影响

本文中主要以y方向加半波电压来分析任意角入射LiNbO3晶体的电光性质，其中no＝2.286，电光系数［16］γ22＝6.8×10－12m／V，He-Ne出射激光波长

λ＝632.8nm，LiNbO3晶体高d＝10mm、长L＝60mm，则半波电压U＝6.4915×102V。

2.1感应折射率以及透射光强分析

2.1.1 α＝β＝0°此时为激光沿光轴方向入射的情况，（2）式和（3）式可化简为相位延迟Δφ＝2π（nx‴－，故电压为半波电压时，相位延迟Δφ＝π，光强透过率T＝1。

2.1.2 β＝0°，α为任意角度 此时光仅在x-O-z平面上入射，容易验证见，感应折射率nx‴随着α的变化而发生变化，而ny‴与角度α无关。

图4中给出了β＝0°，相位延迟Δφ和光强透过率随α的变化关系。从图可以看出，随着α的增加，相位延迟量逐渐减小，且角度越大，减少速度越快；光强透过率随α成正弦趋势的变化，α较小时，其变化速度较慢，曲线振荡速度相对较慢，随着α角的增加，变化频率变得越来越高。为了清晰观察其变化特性，图4中只画出了小角度范围内的变化。需要说明一点的是，入射光与光轴的夹角α有正有负，但是电光延迟量和光强均是关于α的偶函数，因此，此处仅对光轴的夹角为正的情况进行讨论。

Fig.4 Whenβ＝0°，phase delay and intensity transmittance changing withαangle

2.1.3 β＝90°，α为任意角度 此时入射光波仅在y-O-z平面上入射，将β＝90°代入（3）式，可以计算出

同β＝0°时情况类似，当入射光仅在y-O-z平面入射时，感应折射率nx‴并不会随着α角度的变化而变化，而感应折射率ny‴是关于角α的函数。β＝90°时的电光延迟时间和光强透过率变化如图5所示。从图5中可知，β＝90°时，相位延迟量随着α的增加而逐渐增加，即ny‴是逐渐减小的，并且随着角度增大，其减小的速度越快。从图4和图5的相位延迟量可以看出，在x-O-z平面相位在逐渐减小，与沿光轴方向相比相位逐渐滞后，滞后的幅度也越来越大，而y-O-z平面相位超前，随着角度的增加，相位超前得越来越多。由于在x-O-z平面和y-O-z平面相位延迟是角度对称的，而且光强透过率是关于相位延迟正弦平方的函数，因此y-O-z平面透过率光强与x-O-z平面上的结论一样。

Fig.5 Whenβ＝90°，phase delay and intensity transmittance changing withαangle

2.1.4 α和β都为任意角度 此时光沿任意角度入射，从（2）式～（7）式可以得到感应折射率、电光延迟时间、以及光强透过率随着角度的变化关系，如图6和图7所示。

随着α的增加，感应折射率nx‴和电光延迟量都在逐渐减小，而且角度越大，其减小得越快，而ny‴不随着角度而发生变化；当与光轴的夹角一定，即α一定的情况下，β对nx‴和相位差的影响很小，在10－7量级，可以忽略不计，而透过率随着β的变化相对于相位差变化要明显些，在10－6量级。在同一β的情况下，随着α的增加，透过率呈正弦平方的变化，在近轴范围内时，近似为正弦形式，变化比较缓慢，但当远离光轴的幅度逐渐增加时，变化越来越快。由此可以得出如下结论：x方向的感应折射率和相位差随着α增大而不断减小，而α和β的变化对ny‴没有影响；α对光强透过率的影响远远大于β对其的影响。

Fig.6 x-direction refractive index and y-direction refractive index changing withαandβangles

Fig.7 Phase delay and intensity transmittance change changing withα andβangles

2.2β＝0°时，x和y方向加电场的比较

由前面的分析可知，α对感应折射率、相位差以及光强透过率的影响远远大于β对其的影响，因此当β＝0时，x方向和y方向分别加电场的相位差、光强透过率的变化如图8所示。

可见，相同条件下，x方向加电场的相位差比y方向加电场保持更低的相位延迟值，透过率在0°～0.300°之间几乎没有什么变化，而y方向加电场则只在0°～0.44°之间；其次y方向下透过率率先达到最小值，说明在小角度范围内，x方向下的透过率变化较慢，并且随着角度的增加，二者的透过率峰值成交错变化；在0.5°，0.680°等位置，两者的透过率完全相同，此时在x方向还是y方向加电场不会影响晶体的透过率。

Fig.8 Phase delay and intensity transmittance when the electric field is applied along x axis and y axis

3 实 验

为了验证不同光束入射角度下铌酸锂晶体的电光调制特性，同时为了实验的方便，只考虑β＝0°，α变化时这一情况，实验装置如图9所示。当一束线偏振光Ii经过起偏器后沿着与晶体光轴夹角α方向入射晶体，且电场矢量E沿y方向进入晶体后即分解为沿x‴和y‴方向的两个垂直分量，由于两偏振分量的折射率不同，则光在两个偏振方向传播的速度就不同，它们经过长度为L′的空间距离光程分别为nx‴L′和ny‴L′，这样两偏振分量的相位延迟分别为φx‴和φy‴，这两束光波穿过晶体后并且经过与起偏器正交的检偏器将产生一个Δφ＝φx‴－φy‴的相位延迟，因此经过实验系统后用能量计就可以测量出射光束Io的能量，再利用公式就可以计算出光强透过率。从上面的分析可知，在直流电压下，即Ey为定值的情况下，利用计算机控制2维旋转平台转动的角度，即光束会以不同的入射角α入射电光晶体，从而使得感应折射率、相位差、光束透射率随着α的变化而发生变化。

Fig.9 Experimental setup

首先调整偏振片的角度，使得起偏器与检偏器偏振方向垂直，然后准直光路，最后利用计算机控制2维旋转平台的旋转角度，即晶体旋转的角度，记录不同旋转角度下的光功率。实验中使用大恒新纪元科技股份有限公司生产的型号为DH-HN250的He-Ne内腔激光器，输出波长632.8nm，功率为3mW，光束直径约为0.7mm，光束发散角约为1.4mrad，输出能量的稳定度约为5%，型号为GCL-050003的偏振片以及GCD-0301M2维旋转平台都是由大恒光电公司生产的；能量是由Ophir公司生产的NOVAII能量计测量的，而铌酸锂晶体长宽高分别为60mm× 10mm×10mm。试验中测得He-Ne激光器出射功率为2.735mW，偏振片的透过率为25.44%，当没有加电压时测得晶体透射率为65.2%，这里将其称之为晶体的固有透射率，激光路径损失大约为0.00168mW／cm，因此，通过以上分析可以利用下式计算透射率T，即：

从图10可以看出，实验和理论比较吻合，透过率成近似正弦的变化趋势，角度α较小时，变化得较慢，但是随着角度的增加，透射率振荡的速度加快。而由于He-Ne激光输出的功率存在一定的波动，实验测得的值为多次试验的平均值。随着入射角度的增大，晶体表面的反射也会逐渐的增大，相应的透射能量会逐渐减小，因此，曲线各个周期内峰值会随着角度增加而逐渐减小。

Fig.10 Theoretional and experimental transmittance whenβ＝0°

4 小 结

利用循环坐标推导了光束任意方向入射LiNbO3晶体后的感应折射率的解析式，通过对其分析，得出y方向加电场时，感应折射率nx‴和电光延迟时间是关于光轴夹角α的减函数，随着α的增大，这两者递减的速度都会逐渐增大，而ny‴不随角度α和β发生变化。在近轴范围内，光强透过率近似为正弦的变化，而且变化也比较缓慢，α角度增加，光强的振荡频率变得很高。x方向加电场时，由于感应主轴发生变化，波矢绕着光轴旋转45°即可得到与y方向加电场相似的公式与结论，对两种情况进行比较分析，在小角度范围内，LiNbO3晶体x方向加电场的光强透过率变化较y方向加电场慢，并且随着角度的增加，二者的透过率峰值会成交错的变化。

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Electro-optical effect of LiNbO3crystal under non-paraxial light beam

SONG Min，LI Hongru，CHENXinrui，HUANGLong，LI Rong，SUNNianchun
（College of Electronics and Information Engineering，Sichuan University，Chengdu 610064，China）

In order to study the electro-optical effect of LiNbO3crystal under condition of non-paraxial when electric field was constant，the cyclic coordinate transformation equation of ellipsoid tensor of refractive index was adopted to deduce the expression of refractive index distribution in the optical axis orthogonal region.The dependence of refractive index，phase delay and transmittance upon the direction of incident laser was discussed.The experimental data of the transmittance changing withα，the angle between light beam and optical axis，were obtained.The results show that when the electric field is applied along y axis，a slight deflection of the incident light will lead to a significant change of the x-direction refractive index and beam transmittance whereas the y-direction refractive index has no change.The angleαbetween light beam and optical axis affects the electro-optical effect of LiNbO3crystal far greater than the angleβbetween light vector in the x-y plane and the positive of x axis.The induced refractive index remains similar when adding electric field both in x axis and y axis but the former phase delay is smaller.The transmittance of the former also has a slower change than that of the latter between 0°and 0.4399°，Moreover，after the angle of 0.45°，the transmittance changes alternately at the positions of0.5°，0.680°and so on，the transmittances in x axis and y axis are just the same.The result has a certain significance to improve the electro-optical properties of LiNbO3crystal by means of angle adjustment.

optoelectronics；transversal electro-optical effect；LiNbO3crystal；non-paraxial；cyclic coordinate

O734＋.1

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.02.002

1001-3806（2014）02-0149-06

中国工程物理研究院-四川大学协同创新联合基金资助项目（0020505419507）

宋 敏（1989-），男，硕士研究生，现主要从事非线性光学与光通信方面的研究。

*通讯联系人。E-mail：8178137＠163.com

2013-06-27；

2013-07-30