微积分习题课的范例教学法

2014-06-12吴世玕杜红霞

通化师范学院学报 2014年10期

吴世玕，杜红霞

(1.江西理工大学理学院，江西赣州 341000；2.江西理工大学机电学院，江西赣州 341000)

1 范例教学法概述

“范例教学”，又称“示范方式教学”.瓦根舍因认为，范例就是“隐含着本质因素、根本因素、基础因素的典型事例”[1-2].范例教学主张，在有限的教学时间内，组织学生进行“教养性学习”，让学习者从选择出来的有限的例子中主动地获得一般的、本质的、结构性的、原创性的、典型的以及规律性的跨学科的东西.

范例教学的目标就是要达到四个统一：教学和训育的统一，问题解决学习与系统学习的统一，掌握知识与培养能力的统一，主体与客体的统一.

范例教学认为，为了培养学生独立性，教学必须以学生为方向，从学生实际出发，牢牢地把学生的兴趣与关心的问题紧扣在一起.要帮助学生去发现，去追求新知识、新技能.

在教学内容上，选择教学材料，要注意“基本性”，“基础性”和“范例性”.在教学过程方面，主张通过对典型个例的学习，抓住事物的本质.将个别抽象为类型，用范例理解类型的规律，范例性地获得有关经验.在教学方法上，范例教学模式与发现教学模式[3]、研究式教学模式[4]相结合，效果会更好.

2 选择例题要注意“基础性”

习题课是为了让学生在教师的引导下，复习课本上的基本理论、基本方法.关键在于引导，而不是题海战术.精选一些有代表性的问题，通过一题多解的方法，培养学生发散思维，将学生所学的知识、方法串联起来.所选例题，要能从多方面反映所学知识和方法，而且有推广的价值.还要让学生来评论，什么方法更简捷，更精彩，以达到从众多解法当中，寻找最优解法，培养学生集中思维和综合分析能力.

比如，在高等数学上册期末复习：求极限，求导数，求积分时，通过一些典型例题，来达到对这3方面的训练.先让学生回忆，在求极限方面，学过哪些方法，然后，通过典型例题，复习、训练求极限的方法.

解法2 学生已经学习了数列极限的夹逼准则，教师在课堂上，启发学生将这个数列适当放大、缩小，就可将极限求出.

解法3 对于函数极限，学生已经学过罗必达法则.对于数列极限，是否也有类似的定理或法则，为了拓宽学生的知识面，可以分析这个数列，分母是单调递增的正无穷大数列.同时向学生介绍施图兹定理，用来求解这种极限，非常容易.

解法4 定积分是黎曼积分和的极限，在处理和的极限时，常想到定积分.本例分子、分母都是和的形式，可否将分子、分母化成黎曼积分和的形式？黎曼积分和中都有f(ξi)Δxi的形式.本例如何找f(ξi)和Δxi.

综上，我们通过这个典型例题，培养了学生观察问题的能力，由p=2时的极限等于1可知，p>0时，也可用定积分方法，得出极限为1的结论.

在微积分的学习中，有很多典型例题，教师要善于挖掘、利用.利用典型例题，进行数学思想、数学方法的教学，可以事半功倍.通过教师讲解上述例题，引导学生复习了求极限的一些经典方法.

3 选择例题要注意“基础性”

在微积分的学习中，有很多经典问题处理方法相似.教师可以通过典型例题，精讲其方法，并将其推广到类似问题上，让学生学会学习，举一反三，触类旁通.所选例题要能反映基础知识、基本方法.

以多元函数的积分学为例，包括二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分，这些积分可以相互转化.在复习积分方法及应用时，教师可精讲典型例题，再告知学生如何类推到类似问题上.所以选择例题时要具有“基础性”，训练学生计算的基本功.

这是一个经典的例题，很多微积分教材上都有.若闭曲线包围原点，其解法是“挖洞法”.将沿的积分，化成沿“洞”的边界上的积分.在“洞”的边界上，被积函数的分母是常数，可以将其提到积分符号外，从而达到简化积分的效果.

曲线积分、曲面积分的计算中，补线(补面)法、挖洞法，所依赖的分别是格林公式和高斯公式.复习课时，教师通过对典型例题的讲解，可以起到以点带面的作用.多元函数积分的应用，也可以用典型例题，说明方法和计算技巧.比如，二重积分中，可用质心公式计算一些二重积分，可将此方法类推到三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分.教会学生归纳、总结、举一反三、触类旁通，真正达到教学目的.