张姮妤，邓廷勇，赵 爽

(1.绥化学院，黑龙江 绥化 152061；2.黑龙江八一农垦大学，黑龙江 大庆 163000)

运筹学作为一门与众多科学相联系的新兴学科，运筹学的理论和方法在企事业管理、社会服务、经济投入及生产决策等领域中发挥着越来越重要的作用.目前，各高校的理学、工学、经济贸易与工商管理等专业中都开设了运筹学课程.运筹学是一门优化学科，具有以数学为主要工具、注重实际应用、具有多学科交叉性等特点.但在传统的运筹学教学中存在重理论、轻实践、教学内容枯燥、教学形式单一、学生学习积极性不高、解决实际问题能力不强等现象.因此，如何对传统的运筹学教学进行改革是一个值得研究和探索的问题.本人多年来一直从事运筹学和数学建模课程的教学和指导工作，在教学实践中发现，若在运筹学教学中融入数学建模的思想和方法，可在教学内容、教学模式和学生能力培养等方面有效地解决上述传统运筹学教学中所存在的问题.本文主要阐述运筹学与数学建模的内在联系，说明在运筹学教学中融入数学建模的思想和方法是十分必要的，将运筹学教学与数学建模有机地结合起来，能全面加强学生综合能力的培养，进一步提高运筹学课程的教学质量.

1 运筹学教学融入数学建模思想的必要性

数学建模是一种通过建立数学模型来解决实际中遇到的各种问题的方法.运筹学致力于解决现实世界中的很多实际问题，将这些实际问题加以提炼，运用适当的数学工具，抽象为数学模型，求出模型的解，并用该数学模型提供的解来解释现实问题，抓住问题的主要矛盾，确定已知条件和未知因素之间内在的数量关系，用数学的语言和表达式进行描述，这样，运筹学就和数学建模紧密的联系起来了.从运筹学的研究内容及特点可以看出：运筹学在处理问题时，根据研究对象的不同建立不同的数学模型，其中包括线性规划、整数规划、动态规划、目标规划、非线性规划、排队论、决策论、对策论、存储论等常用的数学模型.在运筹学教学中，经常涉及到有关经济建设、生产实践及企业管理中有限资源分配问题，以期获得最大收益.要解决这类问题，首要的就是根据需要建立数学模型，而数学建模中的数学模型很多又都来源于运筹学，因此，从一定意义上来说，数学建模是运筹学的一个重要组成部分，所以在运筹学的教学中一定要贯穿数学建模的思想方法，增强学生学习运筹学的应用意识.

运筹学教学改革实践说明，运筹学教学以数学建模的实际案例为背景，建模与优化算法二者并重，既可以培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，又保证了学生具备扎实的理论基础，符合新时期人才培养的要求.运筹学教学与数学建模相结合的教学改革不但丰富了运筹学课程的教学内容，改变了课程的教学形式，也提高了学生的学习兴趣.在运筹学教学中对学生进行一定的数学建模思想教育和建模训练是非常必要的，教学效果是积极肯定的.

2 数学建模思想在运筹学教学中的运用

为了充分发挥运筹学与数学建模相结合在教学改革中的作用，就应该注意在运筹学教学中的各个教学环节加强对数学建模的思想、方法和教学案例的运用.

2.1 教学设计上体现数学建模思想

教学设计是教师体现教学思想、指导完成具体教学任务的教学安排.传统的运筹学教学往往把注意力较多地集中在理论知识的处理上，而对例题、习题等内容的选取、次序和搭配等教学设计的不够合理，特别是对数学建模思想的融入不够充分，使学生对这门课程本质的把握不深、不透，影响了学生学习的积极性和应用能力的培养.因此，在运筹学课程的教学设计中，首先要注意引用与建模问题有关的教学案例，设置一些与日常生活密切相关的、有趣的问题，在充分体现该问题的实践性、体现数学建模思想的同时，设计合理的案例.

比如，学校食堂服务的优化模型，到食堂就餐是每个学生关心的问题，能否快速接收到服务是学生关注的焦点，可以指导学生对学校食堂服务的现状进行考察，然后利用数学的方法对结果进行分析和研究，提出合理化建议.这是运筹学中的排队论问题，还有学校浴池服务、理发服务等和学生生活、学习密切相关的问题都属于类似问题，通过对这些问题的案例设计启发学生的思维，培养他们运用数学方法分析问题和解决问题的能力，充分调动学生学习的积极性，使学生积极主动参与教学过程，真正成为学习的主人.

2.2 教学环节上渗透数学建模思想

为了使学生的课堂学习取得较好效果，教师应该抛弃“填鸭式”的满堂灌教学方法，采用探究式教学，由浅入深、由直观到抽象地进行知识传授，引导学生真正掌握数学的概念和方法，获得学习的乐趣.

例如，在运筹学的绪论介绍中，可引入齐王与田忌赛马的故事情节，田忌通过对上等马、中等马、下等马的合理匹配，充分利用自身现有资源，发挥最大效用.这个故事的引入，不仅体现出运筹学的优化思想，而且避免了直接给出运筹学定义和研究对象给学生带来的困惑，同时激发了学生的学习兴趣.

此外，对运筹学的讲授，不仅要注意知识的传播，还要注意知识的扩展和延伸，注重培养学生的创新性、严谨性和开阔性.例如，对“运输问题”的讲解，可以先提出问题，让学生运用已有知识进行求解，学生基本使用建立线性规划模型后用单纯形法求解的方法.在此基础上，引导学生分析运输问题线性规划模型的特点，引出表上作业法，这种方法针对运输问题变量多，结构独特的特点，将计算过程简化，其实质还是单纯形法.同时将运输问题，分配问题比较，后者通常使用匈牙利法，根据二者都存在平衡问题，可以向学生提出“两种方法是否可以互相通用”的问题，让学生自己思考比较.

在教学方法上，教师采用启发式教学，不仅能使学生积极思考，融会贯通地掌握知识，还能调动学生学习的积极性和主动性，提高学生思维创造力.

2.3 课堂教学中融入数学建模思想

在教学过程中，为了有效、系统地培养学生运用运筹学的思想方法解决实际问题的能力，教师要注意收集一些有实际意义的、学生感兴趣的题目，将其融入课堂教学.每次上课前教师都要根据精心设计的课堂教学内容，思考如何将原本枯燥无味的运筹课上得活泼而生动，使其达到最佳的教学效果.

另外，在讲授规划时，可以编排“学生选课”问题来作为引入点.例如，某校规定，数学与应用数学专业的学生在大一、大二期间至少要学习2门数学基础课程，3门数学实践课程和2门计算机课程，课程名称及学分等要求见表1.问题：学生毕业时最少需要学习哪些课程.如何使学生选择课程少，又能获得多学分，可以选择哪些课程.

这是一个贴近学生生活的分配问题，可对其建立0-1规划的数学模型，由此引出整数规划和0-1规划的解法.对于学生而言，既希望所选的课程数量较少，又希望所得学分较多，这样又可以引出多目标规划问题.从而学生就会对该问题很感兴趣，激发学生的求知欲望，收到很好的教学效果.通过这样的学习，学生可以用运筹学的知识解决自己身边遇到的问题，能够做到学以致用，可以增强学生的应用意识和学习兴趣.

表1 数学与应用数学专业选课表

在运筹学教学中，为了丰富教学内容，教师平时要注意收集国内外优秀的运筹学建模案例，要创建运筹学案例库，在课堂上针对不同的学生，让他们做不同的案例，真正做到因材施教.在课后教学实践中，要求学生应用所学的运筹学理论，建立实际问题的数学模型，并给出相应的算法，编制运算程序，最后给出结果分析，并以论文的方式给予解答.如果问题的解答比较麻烦，一个人很难在很短的时间内完成，就要根据学生的实际情况和问题的难易程度把学生分成小组来完成题目，这样的教学方式，有利于提高学生的数学建模参赛能力.以我校运筹学教学改革为例，经过一学期的训练，学生在数学建模大赛中取得了很好的成绩，其中在2012年东北三省数学建模联赛中，我校有两个代表队获黑龙江赛区的一等奖，四个代表队获黑龙江赛区的二等奖.在2013年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛中，我校有一个代表队获黑龙江赛区的一等奖，三个代表队获黑龙江赛区的二等奖.通过这样的训练，不仅提高了学生解决实际问题的能力，而且培养了学生敢于向困难挑战的精神以及相互协作的团队精神.

2.4 课程考核中结合数学建模思想

在以往的运筹学课程考试中，就是用一张试卷解答问题，学生只会套用书上的公式，进行机械的手工运算，脱离了运筹学解决实际问题的本质要求，无法体现学生解决实际问题的能力.因此，在运筹学课程的考核上也可以进行考核方法和考核内容的改革：将运筹学考试分为两部分，一部分为基础知识的测试，采取笔试的形式(占60%)，另一部分为基本技能的测试，采取论文的形式(占40%)，基本技能测试部分主要考查学生构建数学模型的能力.

例如，我校2012年运筹学课程期末考核中，要求学生在考前提交一篇论文，解决图书优化借阅问题.这是运筹学中的一个排队论问题，实际上就是要求学生对本校图书馆服务的现状进行分析，就如何能快速接收到服务，提出合理化建议，建立一个“图书借阅优化模型”.这项考核要求学生在规定的时间内提出问题解决方案、建立优化借阅模型并撰写相关论文.教师通过这样的考核，比较真实地了解了学生掌握运筹学知识的情况，了解了学生稳定运用这些知识和方法分析问题和解决问题的能力情况，为全面、客观地评价学生的学习情况提供了重要依据.几年来的运筹学课程考核实践表明，在基本技能测试中将运筹学与数学建模相结合是可行的，也是成功的，它在学生的实践能力、运用能力和创新能力的全面培养中发挥了重要作用.

3 结束语

运筹学与数学建模是既相互独立、又有密切联系的两门数学学科，实践性、应用性和创新性是这两门课程的共同特点.数学建模的思想和方法在运筹学教学中的运用为培养学生的各种能力、加强专业素质教育提供了一个新的平台.教学改革实践说明，将数学建模思想融入运筹学教学改革的思路是正确的，改革措施是得当的，教学效果是很好的.

需要指出的是，将运筹学教学与数学建模相结合的教学改革无疑对教师的教学能力和综合素质提出了更高的要求，教师具有积极的教学改革意识、较强的教学材料组织和教学实施能力是保证这项教学改革成功的关键所在.我们相信，只要教育科学不断发展，教学改革就永无止境.运筹学教学与数学建模相结合的教学改革也必定是一个不断完善、不断提高的过程.我们只要秉着严肃认真、科学严谨的态度，勇于探索、孜孜以求，就会使这门课程的教学改革达到一个“没有最好、只有更好”的新境界.

参考文献：

[1]路正南,张怀胜.运筹学基础教程[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2004.

[2]李大潜.将数学建模思想融入数学主干课程[J].中国大学教学,2012(1):9-11.

[3]姜启源,谢金星.一项成功的高等教育改革实践—数学建模教学与竞赛活动的探索与实践[J].中国高教研究,2011(12):79-83.