王 荣

(山西财经大学应用数学学院,太原030031)

有13-(4,m)型的二元自对偶码(m=2,4,6)

王 荣

(山西财经大学应用数学学院,太原030031)

论述纠错码中的二元自对偶码,把码字看成二元域GF(2n)上的多项式,并分解因式。根据码长较短的二元自对偶码,构造出长度较长的二元自对偶码,并给出生成矩阵。运用2个码等价的类型,得到在等价下可能的码的分类情况,运行Matlab程序,证明具有13-(4,2)型自同构的二元自对偶码［54,27,10］只有8个等价的自对偶码。应用该方法,得到二元自对偶码［56,28,10］的生成矩阵。运行程序证明在等价情况下,存在16个有13-(4,4)型的自对偶码,而有13-(4,6)型的二元自对偶码［58,29,10］在等价下只有10种码。

二元自对偶码;自同构;生成矩阵;等价;循环矩阵;分类

1 概述

二元自对偶码在信道码中占有非常重要的地位,它是一种纠错码,把每一个信息转化为0和1的序列,然后对这个序列进行编码来防止它们在信道传输时发生错误。

设σ是一个n阶置换,对线性码C的任一个码字u=(u1,u2,…,un),令 uσ=(uσ(1),uσ(2),…,uσ(n))。对GF(2)n上的一个线性码C,Cσ={uσ|u∈C},如果C=Cσ,则称σ是线性码C的一个自同构,C的全体自同构的集合构成n阶对称群Sn的一个子群,称为自同构群。设p是素数,如果σ有c个p循环和f= n-cp个固定点,则称σ是p-(c,f)型的。

线性码的构造和分类是编码理论的基本内容,自对偶码在编码理论中具有重要作用。对码长不超过32的自对偶码,其构造和分类已经得到完全解决［3-4］。但对码长较长的二元自对偶码研究得还很少。文献［5］证明了对二元自对偶码［48,24,10］,有3-(16,0)型的线性码在等价情况只有264种［6］。文献［7］证明了对有7阶自同构的二元极值码［42, 21,8］,在等价情况下只有29种［8］。……