欧国建杨士中蒋清平曹海林



一种三阶多项式相位信号去噪的字典学习算法

欧国建*①②杨士中①蒋清平①曹海林①

①(重庆大学飞行器测控与通信教育部重点实验室 重庆 400044)②(重庆电子工程职业学院 重庆 401331)

三阶多项式相位信号；递归最小二乘字典学习算法；字典学习；非线性最小二乘法；曲线拟合

1 引言

字典学习算法的研究有3个方向[7]：第1个是基于概率的字典学习方式，如最大后验(MAP)字典学习算法[8]；第2个是基于矢量量化的学习方式，如K-means Singular Value Decomposition (K-SVD)字典学习算法[9]；最后是基于具体结构的学习方式，如参数字典设计[10]。在这3个研究方向内，涌现出了许多的字典学习算法，其共同特征都是通过某种方式使得字典获得更符合信号内容，特征或者纹理特征。

为了实现对信号的有效去噪，本文提出的字典学习算法在RLS-DLA算法的基础上，采用非线性最小二乘法修改了该算法对字典的更新部分，我们称该算法为递归最小均方-非线性最小二乘(Recursive Least Squares- Non Linear Least Squares, RLS-NLLS)字典学习算法。实验表明，相比K-SVD, RLS-DLA和K-SVDD字典学习算法，该算法对CPS具有更好的去噪效果，并且运算量远远低于采用固定字典的形式。

2 问题描述

可得到

通过对式(5)的求解，可得到

字典学习是从观测信号数据中得到最优的稀疏表示，使得字典中原子结构更接近于观测信号。对有噪声的CPS，通过字典学习，字典中的原子结构必然接近于有噪声的CPS。对此，本文通过非线性最小二乘法对原子结构进行拟合，使其结构接近于无噪声的CPS，这样训练出来的字典通过稀疏表示能有效去除CPS的噪声。

3 算法描述

3.1 算法思想

分析RLS-DLA及K-SVD字典学习算法对多项式相位信号去噪效果不好的原因，是因为通过这些字典学习算法训练后得到的字典，其原子结构接近于信号。因此，如果观测信号是带噪声的信号，则通过字典学习，得到的原子结构必然是带噪的信号结构。那么，如果对原子数据进行修正，让原子结构接近与不带噪的信号结构，这样得到的字典通过稀疏表示得到的重构信号，其去噪效果就很明显。于是本文引入了非线性最小二乘法，通过拟合原子数据，让原来带噪的原子结构变为不带噪的原子结构。从图1(a)可以看出，对有加性高斯白噪声的CPS，用RLS-DLA字典学习算法训练字典后，训练后的字典原子是一个含加性高斯白噪声的函数，而从图1(b)中可以看出，通过非线性最小二乘法对原子的拟合，原子是一条光滑的曲线，这样就有效去除了原子的噪声。通过这样的处理得到的字典，通过稀疏分解我们就能对信号有效的去噪。

对非线性最小二乘法拟合，其原理如下：

这就是非线性最小二乘法拟合的基本原理。

3.2 . RLS-NLLS算法

图1 RLS-DLA字典学习算法得到的原子函数曲线及拟合曲线

表1RLS-NLLS算法步骤

任务：找到最好的字典，使得该字典通过稀疏表示能有效地去除CPS的噪声。初始化：任取段观测信号作为初始字典，并使之标准化。(1)取得第个受训信号；(2)通过用追踪算法和，得到系数矢量；(3)求得；(4)运用，计算矢量, ；(5)更新字典。(1)取得字典的第i个原子；(2)运用非线性最小二乘法拟合原子，得到拟合后的原子；(3)把拟合后的原子代替原来的原子；最后得到的字典为。

4 实验

本节主要验证通过该算法对CPS的去噪效果。去噪效果采用信号的均方误差(Mean Square Error, MSE)和信噪比(SNR)来衡量，定义如下：

图2 RLS-NLLS, RLS-DLA, K-SVD及K-SVDD重构信号对比图

表2 4种算法重构信号的MSE值

表3 4种算法重构信号的SNR值

5 结论

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欧国建： 男，1975年生，博士生，研究方向为压缩感知、扩频通信、非平稳信号处理.

杨士中： 男，1937年生，教授，中国工程院院士，研究方向为信息与通信工程、电子科学与技术.

蒋清平： 男，1976年生，博士，讲师，研究方向为压缩感知、循环谱信号处理.

A Dictionary Learning Algorithm for Denoising Cubic Phase Signal

Ou Guo-jian①②Yang Shi-zhong①Jiang Qing-ping①Cao Hai-lin①

①(&,,400044,)②(,401331,)

Cubic Phase Signal (CPS); Recursive Least Squares Dictionary Learning Algorithm (RLS-DLA); Dictionary learning; Non-Linear Least Squares (NLLS); Curve fitting

TN911.7

A

1009-5896(2014)02-0255-05

10.3724/SP.J.1146.2013.00726

欧国建 ouguojia_2005@qq.com

2013-05-23收到，2013-10-25改回

国家自然科学基金(51377179)，中央高校基本科研业务费(CDJZR12160020)和重庆教委项目(KJ120510)资助课题