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常用逻辑用语误区辨析

2014-05-26王勇王剑

高中生学习·高二版 2014年2期
关键词:错因充分条件奇函数

王勇++王剑

同学们学习常用逻辑用语时,因为对概念理解不透彻,思维不严谨,经常出现这样或那样的错误.下面分类列举常见错误并加以剖析,希望对同学们有所帮助.

1. 对命题中的条件或结论否定时出错

例1 写出命题“若[x2+y2=0],则[x,y]全为零”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.

错解 逆命题:若[x,y]全为零,则[x2+y2=0],是真命题.

否命题:若[x2+y2≠0],则[x,y]全不为零,是假命题.

逆否命题:若[x,y]全不为零,则[x2+y2≠0],是真命题.

错因分析 本题中的错解主要是对命题中的条件或结论否定时出错.对“[x,y]全为零”的否定,应为“[x,y]不全为零”,而不是“[x,y]全不为零”.

正解 逆命题:若[x,y]全为零,则[x2+y2=0],是真命题.

否命题:若[x2+y2≠0],则[x,y]不全为零,是真命题.

逆否命题:若[x,y]不全为零,则[x2+y2≠0],是真命题.

2. 写否命题时忽略大前提致误

例2 将命题“[a>0]时,函数[y=ax+b]的值随[x]的增大而增大”写成“若[p],则[q]”的形式,并写出其否命题.

错解 “若[p],则[q]”的形式:若[a>0],则函数[y=ax+b]的值随[x]的增大而增大.

否命题:若[a≤0],则函数[y=ax+b]的值随[x]的不增大而不增大.

错因分析 原命题有两个条件:“[a>0]”和“[x]增大”,其中“[a>0]”是大前提,在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时,都要把“[a>0]”置于“若”字的前面,把“[x]增大”作为原命题的条件.错解中对否命题的写法,把“[a>0]”和“[x]增大”都否定了,从而改变了一次函数的性质,特别是当[a=0]时,失去了研究函数[y]“增”与“不增”的意义了,应在不改变函数性质的前提下完成解答.

正解 “若[p],则[q]”的形式:当[a>0]时,若[x]增大,则函数[y=ax+b]的值也随着增大.

否命题:当[a>0]时,若[x]不增大,则函数[y=ax+b]的值也不增大.

3. 对四种命题的结构不明致误

例3 命题“若[fx]是奇函数,则[f-x]是奇函数”的否命题是( )

A. 若[fx]是偶函数,则[f-x]是偶函数

B. 若[fx]不是奇函数,则[f-x]不是奇函数

C. 若[f-x]是奇函数,则[fx]是奇函数

D. 若[f-x]不是奇函数,则[fx]不是奇函数

错解 A 因为否命题是条件和结论都否定,所以奇函数的否定为偶函数.

错因分析 本题主要考查常用逻辑用语中否命题的写法,容易出现两个错误:一是容易把命题的否定和否命题混淆;二是对函数奇偶性分类不清楚,误认为函数不是奇函数就是偶函数.

正解 一个命题的否命题是对条件和结论都否定,且对“函数[fx]是奇函数”的否定为“[fx]不是奇函数”,“[f-x]是奇函数”的否定为“[f-x]不是奇函数”.

答案 B

4. 充分条件、必要条件与充要条件相混淆致误

例4 下列四个条件中,使[a>b]成立的充分不必要条件是( )

A. [a>b+1] B. [a>b-1]

C. [a2>b2] D. [a3>b3]

错解 B ∵[a>b],而[b>b-1],∴[a>b-1].

错因分析 错解错在没有理解谁是谁的充分不必要条件.[p]是[q]的充分不必要条件是指:由[p]能推出[q],但是由[q]推不出[p]. [p]是[q]的必要不充分条件是指:由[p]推不出[q],但是由[q]能推出[p].

正解 对于A项,[a>b+1?a-b>1>0?][a>b]. 当[a=2, b=1]时满足[a>b],但此时[a=b+1],故A项正确;对于B项,[a>b-1]不能推出[a>b],故B项错误;对于C项,由[a2>b2]不能推出[a>b],如[a=-2,b=1,-22>12],但[-2<1],故C项错误;对于D项,[a>b?a3>b3],是互为充要条件,故D项错误.

答案 A

例5 已知方程[x2-2m+2x+m2-1=0]有两个大于2的实数根,求实数[m]的取值范围.

错解 由于方程[x2-2m+2x+m2-1=0]有两个大于2的实数根,设这两个根分别为[x1,x2],

则[Δ=4m+22-4m2-1≥0,x1+x2=2m+2>4,x1x2=m2-1>4.]解得,[m>5].

所以当[m∈5,+∞]时,方程[x2-2m+2x][+m2-1][=0]有两个大于2的实数根.

错因分析 若[x1>2,x2>2],则有[x1+x2>4,x1x2>4]成立;但若[x1+x2>4,x1x2>4,]则不一定有[x1>2,x2>2]成立. 即[x1+x2>4,x1x2>4]是[x1>2,x2>2]的必要不充分条件.而[x1-2+x2-2>0,x1-2x2-2>0]是[x1>2,x2>2]的充要条件.

正解 由于方程[x2-2m+2x+m2-1=0]有两个大于2的实数根,设这两根分别为[x1,x2].

则[Δ=4m+22-4m2-1≥0,x1-2+x2-2>0,x1-2x2-2>0.]

将[x1+x2=2m+2,x1x2=m2-1]代入上式,可解得[m>5].

所以当[m∈5,+∞]时,方程[x2-2m+2x][+m2-1=0]有两个大于2的实数根.endprint

5. 混淆了命题的否定与否命题而致误

例6 (1)命题[p]:对顶角相等,写出命题[p]的否命题.

(2)写出命题“如果[A?B=B],那么[A?B]”的否定.

错解 (1)命题[p]的否命题为:对顶角不相等.

(2)“如果[A?B=B],那么[A?B]”的否定是“如果[A?B≠B],那么[A?B]”.

错因分析 命题的否定与否命题是两个不同的概念,应正确认识命题的否定与否命题的关系,弄清楚它们的联系与区别. 命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题则是对命题的条件和结论分别否定后组成的命题.对于“若[p],则[q]”形式的命题,其命题的否定形式为“若[p],则[?q]”,而其否命题的形式为“若[?p],则[?q]”.命题的否定的真假与原命题总是相对的,而否命题的真假与原命题的真假没有必然联系.

正解 (1)命题[p]的否命题为:不是对顶角的两个角不相等.

(2)“如果[A?B=B],那么[A?B]”的否定是“如果[A?B=B],那么[A?B]”.

6. 对命题的否定不全面致误

例7 已知[p:3x-4>2,q:1x2-x-2>0],求[?p]和[?q]分别对应的[x]的取值集合.

错解 由[p:3x-4>2]得,[?p:3x-4≤2,]

[∴-2≤3x-4≤2,∴23≤x≤2].

即[?p:x23≤x≤2].

由[q:1x2-x-2>0]得,[?q:1x2-x-2≤0,]

[∴-1

错因分析 如果由条件[p]中的元素组成的集合为[M],那么对[p]的否定[?p]中的元素组成的集合就是[M]的补集. 在本题中,容易出现“由[q:1x2-x-2>0]得出[?q:1x2-x-2≤0]”的错误,所以在解题时应先求出满足[q]的[x]的取值集合,再求其补集.

正解 由[p:3x-4>2]得,[p:{x|x>2]或[x<23}].

∴[?p:{x|23≤x≤2}].

由[q:1x2-x-2>0]得,[q:{x|x>2]或[x<-1}].

∴[?q:{x|-1≤x≤2}].

7. “或”“且”“非”理解不准确致误

例8 已知命题[p]:不等式[x+x-1>m]的解集为[R];命题[q:fx=-5-2mx]是减函数.若“[p]或[q]”为真命题,“[p]且[q]”为假命题,求实数[m]的取值范围.

错解 因为不等式[x+x-1>m]的解集为[R],由绝对值的几何意义知,[m<1]. 由[fx=-5-2mx]是减函数知,[5-2m>1]. 所以[m<2].又“[p]或[q]”为真命题,“[p]且[q]”为假命题,则[p],[q]都是真,或都是假,所以[m<1]或[m≥2].

错因分析 对“[p]或[q]”为真命题,“[p]且[q]”为假命题理解不到位,不知道[p],[q]的真假情况导致错误.

正解 因为不等式[x+x-1>m]的解集为[R],由绝对值的几何意义知,[m<1]. 由[fx=-5-2mx]是减函数知,[5-2m>1]. 所以[m<2].又“[p]或[q]”为真命题,“[p]且[q]”为假命题,所以[p],[q]一真一假.若[p]真,则[q]假,可得[m<1]且[m≥2],不成立;若[p]假,则[q]真,可得[1≤m<2].由以上两种情况可得,实数[m]的取值范围是[1≤m<2].

8. 对含有量词的命题的否定不当致误

例9 命题“存在[x0∈R,2x0≤0]”的否定是( )

A. 不存在[x0∈R,2x0>0]

B. 存在[x0∈R,2x0≥0]

C. 对任意的[x∈R,2x≤0]

D. 对任意的[x∈R,2x>0]

错解 存在的否定是不存在,小于或等于的否定是大于,所以本题应选A.

错因分析 本题是对特称命题的否定. 因此否定时既要对“存在”否定,又要对“[≤]”否定. 但是“存在”的否定是“任意”,“[≤]”的否定是“[>]”. 错解错在顾此失彼.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. 对全称命题和特称命题否定时,不仅要否定结论,还要将全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词.

正解 D

9. 写命题时忽略隐含的量词致误

例10 命题:等腰三角形都是直角三角形,写出命题的否定形式.

错解 该命题的否定形式为:等腰三角形一定不是直角三角形.

错因分析 这个命题虽然没有明显的关键词“所有”,但我们从语意上分析,它所研究的对象不是一个个体,而是所有的等腰直角三角形,它是一个全称命题,它的完整形式应该是“所有的等腰三角形都是直角三角形”,所以它的否定形式应该是“有的等腰三角形不是直角三角形”.如果将原命题改为“等腰[ΔABC]是直角三角形”,显然它所研究的对象仅是一个个体,那么它的否定形式就可以写成“等腰[ΔABC]不是直角三角形”.

正解 “有的等腰三角形不是直角三角形”或“等腰三角形不都是直角三角形”.

1. 设原命题是“已知[a,b,c,d]是实数,若[a=b]且[c=d],则[a+c=b+d]”,则它的逆否命题是( )

A. 已知[a,b,c,d]是实数,若[a+c≠b+d],则[a≠b]且[c≠d]

B. 已知[a,b,c,d]是实数,若[a+c≠b+d],则[a≠b]或[c≠d]

C. 若[a+c≠b+d],则[a,b,c,d]不是实数,且[a≠b],[c≠d]

D. 以上答案都不对

2.如果[a,b,c∈R],那么[b2>4ac]是“方程[ax2+bx][+c=0]有两个不等实根”的( )

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )

A. 所有不能被2整除的数都是偶数

B. 所有能被2整除的数都不是偶数

C. 存在一个不能被2整除的数是偶数

D. 存在一个能被2整除的数不是偶数

4. 命题甲:[x≠2]或[y≠3],命题乙:[x+y≠5],则( )

A. 甲是乙的充分非必要条件

B. 甲是乙的必要非充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

5. 已知命题[p]:对任意的[x∈R],有[lnx>1],则[?p]是( )

A. 存在[x0∈R],有[lnx0<1]

B. 对任意的[x∈R],有[lnx<1]

C. 存在[x0∈R],有[lnx0≤1]

D. 对任意的[x∈R],有[lnx≤1]

6. 已知命题[p]:若[x-2013+y-2014=0],则[x=2013]且[y=2014],那么命题“非[p]”为 .

7. 已知命题[p]:关于[x]的方程[x2-ax+4=0]有实根,命题[q]:关于[x]的函数[y=2x2+ax+4]在[3,+∞]上是增函数.若[p]或[q]是真命题,[p]且[q]是假命题,则实数[a]的取值范围是 .

8. 已知命题[p]:[?x0∈R,x20+2x0+2≤0],则[?p]为 .

9.已知集合[A=yy=x2-32x+1,x∈34,2,][B=xx+m2≥1],命题[p:x∈A],命题[q:x∈B],并且命题[p]是命题[q]的充分条件,求实数[m]的取值范围.

10. 设命题[p:x2-8x-20≤0],命题[q]:关于[x]的方程[x2-2x+1-m2≤0m>0].若[?p]是[?q]的必要而不充分条件,试确定实数[m]的取值范围.

1. B 2. C 3. D 4. B 5. C

6. 若[x-2013+y-2014=0],则[x≠2013]或[y≠2014]

7. [-∞,-12?-4,4]

8. [?x∈R, x2+2x+2>0]

9. [-∞,-34?34,+∞]

10. [9,+∞]

C. 若[a+c≠b+d],则[a,b,c,d]不是实数,且[a≠b],[c≠d]

D. 以上答案都不对

2.如果[a,b,c∈R],那么[b2>4ac]是“方程[ax2+bx][+c=0]有两个不等实根”的( )

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )

A. 所有不能被2整除的数都是偶数

B. 所有能被2整除的数都不是偶数

C. 存在一个不能被2整除的数是偶数

D. 存在一个能被2整除的数不是偶数

4. 命题甲:[x≠2]或[y≠3],命题乙:[x+y≠5],则( )

A. 甲是乙的充分非必要条件

B. 甲是乙的必要非充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

5. 已知命题[p]:对任意的[x∈R],有[lnx>1],则[?p]是( )

A. 存在[x0∈R],有[lnx0<1]

B. 对任意的[x∈R],有[lnx<1]

C. 存在[x0∈R],有[lnx0≤1]

D. 对任意的[x∈R],有[lnx≤1]

6. 已知命题[p]:若[x-2013+y-2014=0],则[x=2013]且[y=2014],那么命题“非[p]”为 .

7. 已知命题[p]:关于[x]的方程[x2-ax+4=0]有实根,命题[q]:关于[x]的函数[y=2x2+ax+4]在[3,+∞]上是增函数.若[p]或[q]是真命题,[p]且[q]是假命题,则实数[a]的取值范围是 .

8. 已知命题[p]:[?x0∈R,x20+2x0+2≤0],则[?p]为 .

9.已知集合[A=yy=x2-32x+1,x∈34,2,][B=xx+m2≥1],命题[p:x∈A],命题[q:x∈B],并且命题[p]是命题[q]的充分条件,求实数[m]的取值范围.

10. 设命题[p:x2-8x-20≤0],命题[q]:关于[x]的方程[x2-2x+1-m2≤0m>0].若[?p]是[?q]的必要而不充分条件,试确定实数[m]的取值范围.

1. B 2. C 3. D 4. B 5. C

6. 若[x-2013+y-2014=0],则[x≠2013]或[y≠2014]

7. [-∞,-12?-4,4]

8. [?x∈R, x2+2x+2>0]

9. [-∞,-34?34,+∞]

10. [9,+∞]

C. 若[a+c≠b+d],则[a,b,c,d]不是实数,且[a≠b],[c≠d]

D. 以上答案都不对

2.如果[a,b,c∈R],那么[b2>4ac]是“方程[ax2+bx][+c=0]有两个不等实根”的( )

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )

A. 所有不能被2整除的数都是偶数

B. 所有能被2整除的数都不是偶数

C. 存在一个不能被2整除的数是偶数

D. 存在一个能被2整除的数不是偶数

4. 命题甲:[x≠2]或[y≠3],命题乙:[x+y≠5],则( )

A. 甲是乙的充分非必要条件

B. 甲是乙的必要非充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

5. 已知命题[p]:对任意的[x∈R],有[lnx>1],则[?p]是( )

A. 存在[x0∈R],有[lnx0<1]

B. 对任意的[x∈R],有[lnx<1]

C. 存在[x0∈R],有[lnx0≤1]

D. 对任意的[x∈R],有[lnx≤1]

6. 已知命题[p]:若[x-2013+y-2014=0],则[x=2013]且[y=2014],那么命题“非[p]”为 .

7. 已知命题[p]:关于[x]的方程[x2-ax+4=0]有实根,命题[q]:关于[x]的函数[y=2x2+ax+4]在[3,+∞]上是增函数.若[p]或[q]是真命题,[p]且[q]是假命题,则实数[a]的取值范围是 .

8. 已知命题[p]:[?x0∈R,x20+2x0+2≤0],则[?p]为 .

9.已知集合[A=yy=x2-32x+1,x∈34,2,][B=xx+m2≥1],命题[p:x∈A],命题[q:x∈B],并且命题[p]是命题[q]的充分条件,求实数[m]的取值范围.

10. 设命题[p:x2-8x-20≤0],命题[q]:关于[x]的方程[x2-2x+1-m2≤0m>0].若[?p]是[?q]的必要而不充分条件,试确定实数[m]的取值范围.

1. B 2. C 3. D 4. B 5. C

6. 若[x-2013+y-2014=0],则[x≠2013]或[y≠2014]

7. [-∞,-12?-4,4]

8. [?x∈R, x2+2x+2>0]

9. [-∞,-34?34,+∞]

10. [9,+∞]

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