刘显清 钟守铭 项丽江

(电子科技大学数学科学学院 四川成都 611731)

近年来，越来越多的学者致力于捕食－被捕食系统的研究。而捕食者的功能反应(即捕食者对被捕食者的平均消费率)是研究捕食－被捕食系统的一个重要概念。Crowley－Martin型功能反应是既依赖于被捕食者的密度，又依赖于捕食者的密度的一类功能反应。在以往的文献中，大都对具有Crowley－Martin型功能反应的确定性模型的研究。另一方面，任何生态系统都不可避免地要受到环境噪声的干扰。比如小到天敌捕食、生老病死、天气的阴晴变化等，大到地震、洪水、火山爆发等。在某些实际情况下，用确定性模型对系统的行为所作的描述和预测并不总是令人满意的。比如研究如何保护濒危物种时，则完全不适宜用确定性的模型来研究。因此，

系统的随机性不容忽视，对随机捕食－被捕食系统的研究也越来越多［1－9］。这些文献大都考虑了环境中白噪声的干扰，模型中虽然有两个噪声源，但其耦合形式比较简单。文献［2］考虑了两个噪声源对两种群都会有一定的影响。但文献［2］只研究了系统的持久生存和灭绝性，而全局随机渐近稳定性也是生态系统研究中的一个不可缺少的重要性质。基于以上背景，本文拟对如下模型进行研究:

其中，x和y分别表示被捕食者和捕食者的密度，bi为内禀增长率，aii，ci，σi，μi(i=1，2)都是正常数。Bi(t)为定义在完备的概率空间(Ω，F，P)上的Brown运动(i=1，2)为随机干扰的强度。

1 准备工作

定义1 见文献［10］，考虑n维随机微分方程

若z*∈Rn满足f(z*，t)=0，g(z*，t)=0，∀t≥0 则z*称为方程(2)的均衡态。

(1)系统(2)的均衡态z*称为随机稳定的(或依概率稳定的)，如果对任意给定的ε∈(0，1)，r＞0，存在 δ=δ(ε，r，t0)＞0，使得P{|z(t;t0，z0)－z*|＜r，∀t≥t0}≥1－ε，其中|z0－z*|＜0。不然，此均衡态就称为是随机不稳定的。

(2)均衡态z*称为随机渐近稳定的，如果它是随机稳定的，并且对任意给定的ε∈(0，1)，存在

引理1 见文献［10］，如果存在正定的径向无界函数V(x，t)∈C2，1(Rn×［t0，∞ ］;R+)，使得LV(x，t)是负定的，则方程(2)的均衡解x*是全局随机渐近稳定的，其中:

为了简便起见，我们引入如下记法:

2 主要结果

定理1 令:

如果:

以及:

则对任意给定的初值(x(0)，y(0))，模型(1)的解满足:

证明:定义Liapunov函数V1(x)=x－x*－x*ln(x/x*)，V2(y)=y－y*－y*ln(y/y*)，其正定性可以从u－1－lnu≥0，u＞0看出。为了方便起见，记l(x，y)=1+αx+βy+αβxy。若(x(t)，y(t))∈R2+，运用 It公式，计算可得:

再由1+αx+βy+αβxy≥1得到:

易知d1/d2＞0。定义:

所以有:

3 数值模拟

下面将使用文献［11］中给出的Milstein方法来模拟上面关于随机捕食－被捕食系统(1)所得到的结果。考虑系统(1)相应的离散化系统:

其中，ξk和 ηk(k=1，2，…n)都是服从N(0，1)的Gauss随机变量。

图1 ====0的随机捕食－被捕食系统Fig.1 Stochastic predator－ prey system for====0

图2 ==0.1=0.13=0.15的随机捕食－被捕食系统Fig.2 Stochastic predator－ prey sestem for= =0.1=0.13=0.15

图3 =0.1=30=0.2=30的随机捕食－被捕食系统Fig.3 Stochastic predator－ prey sestem for=0.1=30，=0.2=30

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