张亚飞，韩凯歌，沈艳

哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨 150001

最小二乘广义逆求解方法研究及应用

张亚飞，韩凯歌，沈艳

哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨 150001

广义线性系统是自动控制理论的一个重要组成部分，在研究广义线性系统的诸多问题中常常需要计算系统状态矩阵的广义逆，因而广义逆矩阵的求解方法就显得格外重要。文中给出了矩阵最小二乘广义逆的2种求解方法，分别证明了2种方法的正确性，最后举出广义线性控制系统的实际算例。通过用这2种方法求解系统状态矩阵的最小二乘广义逆，验证了所给方法的有效性和可行性，同时方法简单易行，适合计算机编程计算。

广义系统；Moore-Penrose方程；矩阵广义逆；最小二乘广义逆；行式

1920年穆尔（Moore）首先提出了广义逆的概念，其后的30年并未受到人们的重视，直到1955年英国物理学家彭诺斯（Penrose）明确提出与Moore的广义逆等价的定义，广义逆的概念才引起数学界的重视，从此以后广义逆矩阵进入了一个新的研究阶段。现如今，广义逆矩阵主要应用于数据分析、系统理论、信号处理、现代控制理论等领域［1］，这大大推动了广义逆矩阵理论的迅速发展，使其成为矩阵论的一个重要分支。

1 广义逆矩阵的定义

根据文献［2-4］，矩阵广义逆的定义如下：

定义1 设矩阵A∈ℂm×n，若存在矩阵G∈ℂn×m，满足以下4个方程（Moore-Penrose简称M-P方程的全部或者一部分，则G称为A的1个Moore-Penrose广义逆矩阵（AH为A的共轭转置矩阵）。

按照定义，如果G是满足第i个条件的广义逆矩阵，就记为A{ i}，如果G是满足第i、j个条件的广义逆矩阵，就记为A｛i，j｝，如果G是满足第i、j、k个条件的广义逆矩阵，就记为A｛i，j，k｝，如果G是满足4个条件的广义逆，就记为A｛1，2，3，4｝或A＋。其中只有A＋是唯一确定的，其余A｛i｝、A｛i，j｝、A｛i，j，k｝中广义逆矩阵都是不唯一的，每一种广义逆都包含一类矩阵，应用较多的主要以下5种：

A｛1｝，A｛1，2｝，A｛1，3｝，A｛1，4｝，A｛1，2，3，4｝。A｛1，3｝中任意一个确定的广义逆矩阵称作矩阵A的最小二乘广义逆。

文献［5］中给出了求满秩矩阵A的减号逆矩阵A｛1｝的2种方法；文献［6］在文献［5］的基础上将其推广到求自反广义逆矩阵A｛1，2｝，本文将根据已有结论继续推广至求矩阵A的最小二乘广义逆矩阵A｛1，3｝。

式中：i1，i2，…，im是1，2，…，n中m个数码的选排列；τ（i1，i2，…，im）是排列i1，i2，…，im的逆序数。

若D是一个m×n（m≥n）阶列式，则有：

式中：j1，j2，…，jn是 1，2，…，m 中 n个数码的选排列。τ（j1，j2，…，jn）是排列j1，j2，…，jn的逆序数。

不难证明，行式与行列式有相同的有关行的性质［7］，对于行式可以先进行行变换，化成阶梯型，则行式可求；同样，列式与行列式有相同的有关列的性质，通过列变化可求得列式的值。

为A的广义伴随矩阵，这里Aij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）是矩阵A中元素aij的代数余子行（列）式［7］。

即行式有依行展开：

2 求矩阵最小二乘广义逆的2种方法

由线性代数的有关结论有：若矩阵A∈ℝn×n，A＝（aij）n×n，则一行元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零；若A∈ℝm×n，A＝（aij）m×n，文献［7］中：

式中Im为m阶单位阵。

由于文中研究均为实矩阵，故AH可写为AT。

2．1 求矩阵最小二乘广义逆A｛1，3｝的伴随矩阵法

2．2 求矩阵最小二乘广义逆A｛1，3｝的初等变换法

不妨设矩阵A∈ℝm×n，r≤min｛m，n｝，用

表示矩阵 A 位于 i1，i2，…，ir行，j1，j2，…，jr列的元素保持位置不变的r阶方阵，故

的计算与线性代数中求方阵逆矩阵方法一致，可用初等变换或公式法求得。

定理2 设矩阵A∈ℝm×n，（m≤n），如果矩阵

为满秩方阵，则

是矩阵A的最小二乘广义逆，其中O是（n－m）× m阶零矩阵。

是A的最小二乘广义逆（证毕）。

3 算例分析

矩阵最小二乘广义逆是现代控制理论研究的基础，它广泛应用于自动控制理论中［8-9］。下面给出广义线性控制系统的算例。

例 考虑广义线性控制系统：

式中：x（t）为状态向量，u（t）为输入向量。设该系统的状态矩阵为这里分别用上述2种方法求出状态矩阵A的最小二乘广义逆。

1）伴随矩阵法

即为状态矩阵A的最小二乘广义逆。

2）初等变换法

显然，矩阵A的秩r（A）＝2，若取

以上G1、G2、G3均为A的最小二乘广义逆。

算例只讨论到系统状态矩阵最小二乘广义逆，后续系统研究问题在此暂不详述。

广义线性系统状态矩阵A的最小二乘广义逆矩阵是研究广义系统解耦问题、系统等价变换以及鲁棒控制器设计等诸多问题的基础，因此矩阵最小二乘广义逆的求解方法对自动控制理论研究有重要意义。另外，最小二乘广义逆还用于求解线性方程组［10-11］。

4 结束语

文中给出2种求解矩阵最小二乘广义逆的方法，公式简单易行，便于计算机编程处理。在处理线性方程组、广义线性控制系统有关问题时，经常需要求得相关矩阵的最小二乘广义逆，利用文中给出的结论易将最小二乘广义逆显式给出。

［1］刘成，李一兵，袁泉．基于完全信息的车速建模及Moore-Penrose广义逆求解［J］．汽车工程，2003，25（6）：621-629．

［2］方保镕，周继东，李医民．矩阵论［M］．北京：清华大学出版社，2005：251-288．

［3］程云鹏．矩阵论［M］．2版．西安：西北工业大学出版社，2005：295-309．

［4］陈景良，陈向晖．特殊矩阵［M］．北京：清华大学出版社，2001：467-482．

［5］张静．求矩阵的广义逆［J］．内蒙古大学学报：自然科学版，2005，36（4）：379-382．

［6］徐美进．求矩阵广义逆的另一种初等变换法［J］．大学数学，2009，25（1）：168-171．

［7］张静．行式与列式［J］．山东师范大学学报：自然科学版，1993，8（1）：102-104．

［8］范庆民．矩阵广义逆在动态解耦模糊控制系统中的应用研究［J］．太原理工大学学报，2007，38（2）：180-188．

［9］刘国海，董蓓蓓．基于支持向量机广义逆的永磁同步电机模型参考自适应控制［J］．东南大学学报：自然科学版，2010，40（s1）：13-18．

［10］魏木生．广义最小二乘问题的理论与计算［M］．北京：科学出版社，2006：155-173．

［11］尹钊，贾尚晖．Moore-Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解［J］．数学实践与认识，2009，39（9）：239-244．

Research and application on the solution of
the least square generalized inverses

ZHANG Yafei，HAN Kaige，SHEN Yan
College of Science，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China

A generalized linear system is an important part of automatic control theory，and the generalized inverse of status matrix needs to be calculated usually in the research of generalized linear system，thus the solving methods of generalized inverse is especially significant．This paper discusses two methods to get the least square generalized inverse of matrix，both the processes of proof are given．A generalized linear system as an example shows that the two methods are valid and practical．The least square generalized inverse is obtained by the two methods respective-ly．It also validates that the two methods are simple and easy，suitable for programming and computing．

generalized linear system；Moore-Penrose equation；generalized inverse of matrix；least square general-ized inverse；determinants of rows

O151．21

A

1009-671X（2014）03-0060-004

10．3969／j．issn．1009－671X．201307017

http：／／www．cnki．net／kcms／doi／10．3969／j．issn．1009-671X．201307017．html

2013-07-22．

日期：2014-06-05．

国家自然科学基金资助项目（11002037）．

张亚飞（1988-），男，硕士；

沈艳（1965-），女，教授，博士．

张亚飞，E-mail：314888842＠qq．com．