王 清

(华北科技学院基础部，北京东燕郊 101601)

0 引言

在非线性偏微分方程的研究中，特别是在孤子理论中，一定会提及KdV方程［1］。它可以通过反散射变换化为线性问题，是完全可积的方程。对于可积方程来说，可以考虑它们的Lax对、贝克隆变换、无穷多守恒律及哈密尔顿结构等［2－8］;可以通过对称分析导出KdV方程族，得出方程族的一些相关性质。对称与守恒律之间存在密切的关系，有了守恒律，可以进一步考虑系统的其它重要性质，例如系统的精确解等。

到目前为止，围绕精确解发展了许多方法，然而非线性偏微分方程的求解仍然非常困难，没有统一而普适的方法，需要继续深入研究。论文主要考虑基于李对称［8－9］的精确解的求解，考虑如下广义的KdV方程

其中u=u(x，t)是未知实函数。方程(1)也可以写成形式Δ=0，其中

注意到，在方程中，令α=0就得到KdV方程。事实上，方程(1)可以通过 Lax 方程［7，10］Lt=［W，L］导出，L和 W 分别满足 Lφ =(－∂2+u+iα∂)φ =λφ 和 φt=Wφ =(－2iαλ +4λ∂ －ux－ iαu+2u∂)φ，其中，α 为常数，λ，φ 分别是特征值和对应的特征函数。

1 方程的对称和优化系统

考虑如下的单参数李群的无穷小变换

相应的群变换的向量场为:

对于方程(1)，延拓向量场写为如下形式:

其中 ξ(x，t，u)，τ(x，t，u)，φ(x，t，u)分别用 ξ，τ，φ表示，并且

其中 Dx，Dt为全导数。ξ，τ，φ 满足 pr(3)V(Δ)Δ=0=0，得

将(7)–(9)代入 (10)，得到决定方程，此决定方程对任意的 x，t，u，ux，uxx，uxxx都成立。因此决定方程中 x，t，u，ux，uxx，uxxx的系数为 0，可求得ξ，τ，φ的表达式，进而得到方程(1)对应的有限维无穷小生成元。

其中 V1，V2，V3，V4在李括号运算是封闭的，列表如下。

表1 李括号

单参变换群 Gi由 Vi(i=1，2，3，4)生成，代入(，，)=exp(εVi)(x，t，u)，结果如下。

向量场的伴随表示［9］为

结合Vi(i=1，2，3，4)的对合关系不难得到关于向量场的伴随表示，如表2所示。……