彭晓艳

(兰州交通大学数理学院数学系，甘肃 兰州 730070)

历史上传染病和寄生虫病曾给人类社会造成过很大的灾难.近年来，一些新出现的传染病也来势凶猛，严重威胁人类的生命健康.例如，2003年在中国暴发的“非典”夺走了很多人的生命.因此，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题，已得到大量的结果［1-2］，但这些模型考虑的都是传染病传播的一般规律，考虑到疾病传播过程中的个性差异的并不多.文献［3］仅考虑了形如的非线性传染率.文献［4］仅考虑了形如的非线性传染率.文献［5］仅考虑了垂直传染.而在现实生活中，垂直传染对有些传染病的影响是较大的，考虑疾病的垂直传播因素具有现实的意义.本文在以上基础上引非线性传染率以及考虑垂直传染，建立数学模型来研究其解的性态，从理论上揭示隔离对疾病的控制起到了积极的作用.

1 模型的建立

将一个地方总人口分为4类，分别为易感人群S(t)、患病人群I(t)、隔离人群Q(t)和康复人群R(t).其中，A为人口的常值输入率、人口出生率和外来人口输入率总和;p为人口输入率为A的人群中转化为患者人群的概率;为非线性系数，d为自然死亡率;r为患病人群的恢复率;δ为隔离人群因病死亡率;α1为患病人群的因病死亡率;α2为隔离人群因病死亡率，一般不妨设α1＞α2.ε为隔离人群的治愈率.其模型建立如下:

2 模型分析

显然有

N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)

则有

且区域Ω为方程组(1)的正不变集，0≤p＜1．

下面对p作如下讨论:

若p=0，系统(1)变为

(舍去)

证明 首先证明无病平衡点E0是局部渐近稳定的.考虑系统(1)在E0处的雅克比矩阵为

则其特征方程为

即

则其特征根为

则由Hurwitz定理可知，无病平衡点E0是局部渐近稳定的.

下面证明E0是全局渐近稳定的.取V=I，则有

所以E0是全局渐近稳定的．

证明 首先证明地方平衡点E1是局部渐近稳定的，则系统(2)在E1处的雅克比矩阵为

则其特征方程为

其中

同理可知H3＞0，H4＞0;则方程组的所有根有负实部，因而地方病平衡点E1是局部渐近稳定的.

下面证明E1是全局渐近稳定的.

故系统(2)在Ω内无闭轨线.又E1是局部渐近稳定的，所以地方病平衡点E1是全局渐近稳定的.

若0＜p＜1，则系统(1)总有地方病平衡点 E2()．其中，同上面的，并且其是全局渐近稳定的．证明过程同E1的证明.

3 结语

［1］马知恩，周义仓，王稳定.传染病动力学的数学建模与研究［M］.北京：科学出版社，2004.

［2］王拉娣.传染病动力学的模型及控制策略研究［D］.上海大学博士学位论文，2004.

［3］徐芳，栗永安，杜明银.具有常数输入的SEIS模型的全局渐近稳定性［J］.高校应用数学学报，2009，24(1)：53-57.

［4］芦雪娟，张敬，董晓红.具有非线性传染率的SEIQR流行病模型的全局稳定性［J］.生物数学学报，2012，27(1)：136-144.

［5］米晓丽.一类具有垂直传染的SEIR传染病模型的全局稳定性［J］.山西师范大学学报，2013，27(2)：19-22.