顾兴群

解三元一次方程组的基本思想是消元，即先将三元转化为二元、再将二元转化为一元，最终达到求出未知数的值的目的。

下面举例分析三元一次方程组的解法。

第一，对于一些特殊的方程组，可根据方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法（如整体求解、设比例系数等）来消元。

例1解方程组x12=y13=z15，①

x-2y+3z=22。②

分析：因为①是一个连等的形式，所以可根据其特点令其等于一个常数k，直接将三元转化为一元求解。

解：设x12=y13=z15=k，

所以x=2k，y=3k，z=5k。

把它们代入②，整理得2k-6k+15k=22，解得k=2。

进而解得x=4，y=6，z=10。

所以原方程组的解为x=4，

y=6，

z=10。

第二，若方程组中某个方程缺某个元，则可从另外两个方程消去这个元，转化为二元一次方程求解。

例2解方程组x+3y+2z=2，①

2x-y=7，②

3x+2y-4z=3。③

分析：由于方程②中缺少z项，所以先利用①、③消去z。

解：①×2+③，得5x+8y=7。④

②×8+④，得21x=63，即x=3，从而得y=1。

把x=3，y=1代入①，得z=1。

第三，整体代入消元。

例3解方程组x+y+z=26，①

x-y=1，②

2x+z-y=18。③

分析：将方程③左边变形为含有方程①、②左边代数式的形式，作整体代入便可消元求解。

解：方程③变形为。（x+y+z）+（x-y）-y=18。④

把①、②代入④，得26+1-y=18，解得y=9。

把y=9代入②，得x-9=1，解得x=10。

把x=10，y=9代入①，得z=7。

第四，设参数消元法。

例4解方程组x+y=1，①

y+z=6，②

z+x=3。③

分析：方程组的各个方程中所含未知数个数相等，且未知数的系数都是1，如果将三个方程相加，则可得x+y+z=5，用x+y+z=5减去每个方程，可以得到方程组的解。

解：①+②+③，得2（x+y+z）=10，即x+y+z=5。 ④

由④-①，得z=4，

④-②，得x=-1，

④-③，得y=2。

所以方程组的解为x=-1，

y=2，

z=4。

第五，先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数。

例5解方程组2x+4y+3z=9，①

3x-2y+5z=11，②

5x-6y+7z=13。③

分析：三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单。

解：①+②×2，得8x+13z=31。④

②×3-③，得4x+8z=20。⑤

④、⑤两个方程中x的系数成倍数关系，易消去x，由⑤×3-④，得3z=9，即z=3。

把z=3代入⑤，得x=-1。

把x=-1，z=3代入①，得y=112。

综上所述，在解三元一次方程组时，学生应具体问题具体分析，找出其结构特点及系数之间的关系，灵活巧妙地消元，从而提高解题能力。