王佳欢

摘要：压缩映射原理对泛函分析理论的发展起着重要的作用，本文介绍了压缩映像原理的证明，并在此基础上阐释了该原理在解决数列收敛、隐函数存在、微分方程解的唯一存在性三方面的应用。

关键词：压缩映射 度量空间 收敛 存在性 唯一性

引言

压缩映射原理就是解决某类映射不动点的存在性和唯一性的问题，这些不动点可以由迭代序列求出。我们首先会介绍压缩映射原理（亦被称为Banach），在此基础上，会进一步介绍利用压缩映射原理求解数学分析中数列的收敛性、隐函数存在性、微分方程解的存在唯一性的问题。

1. 定义

1.1.压缩映射

1.1.1.

设T是度量空间X到X中的映射，如果对任意的 ，都有

（0< <1是常数），则T是X上的压缩映射。

1.1.2.几何意义

压缩映射即点x和点y经过映射T后，它们像的距离缩短了。

1.2.不动点

设T是度量空间X到X中的映射，如果有 ，使得

则称 为映射的一个不动点。

2. Banach压缩映射原理

设 是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映射，则T有唯一的不动点，即存在唯一的 ，使得 .

证明：（思路：利用迭代序列，先证其为Cauchy点列即任意的 >0，存在正整数N=N（ ），当n，m>N时有

，

再证x是不动点即 ，最后证明该点的唯一性即设 有 使得 ）

任取x0 ，令x1=T x0，x2=T x1，… ，xn=T xn-1

先考虑相邻两点的距离

再考虑任意两点间的距离n>m

0< <1

是Cauchy点列

X是完备度量空间

，使得

x是不动点

若还有 ，使得 则

0< <1

不动点存在且唯一

3. 压缩映像原理的应用

3.1.数列收敛性

3.1.1.定理

设 是 上的一个压缩系数为k（0

证明：（利用压缩映像的定义）

， n，

（ ， ）

取

， n，

数列 收敛

3.1.2.例题

3.1.2.1.

设 ， ，n=1，2，…证明数列 收敛。

证明：

显然 ，

是压缩映像

由……