张 波 张丹婷 胡 冲

（1.西安市导航技术研究所，陕西 西安 710068；2.西安电子科技大学 雷达信号处理国防科技重点实验室，陕西 西安 710071）

0 引言

海杂波是雷达发射脉冲照射的局部海面的后向散射回波。对海杂波进行特性分析和建模仿真对于设计有效的雷达检测方案和评价雷达检测性能至关重要。传统的研究主要是研究其统计特性，建立统计分布模型，如典型的瑞利(Rayleigh)分布、对数正态(Log-normal)分布、韦布尔(Weibull)分布和K分布等[1]。然而，这些模型把海杂波视为某一随机过程的样本函数，这在很大程度上并非因为海杂波的物理本质，而是出于其看似随机的波形。实际上，高分辨率雷达在低掠射角情况下测量的海杂波往往不具有高斯分布特性，海杂波并不是平稳的，而是呈现为非线性的不平稳性[2-4]。这样经典雷达目标检测所作的独立、线性，平稳等假设均不符合真实情况，基于这些假设而采用的经典雷达目标最佳检测策略不可避免导致检测性能下降。

分形理论[5]的发展不仅为数学和物理提供了全新的观察视角和观察深度，也为杂波建模和分析提供了新的动力和方向：S.Haykin等人[6-7]对海杂波的研究表明，海杂波存在分数维的混沌吸引子，且存在大于零的Lyapunov指数，进而表明，用非线性学科中的混沌与分形方法研究杂波模型比传统的随机方法更为有效。

已有很多学者对海杂波的分形特性进行过不同方面的研究，也取得了不少成果[8-9]。本文从实测海杂波数据入手，首先计算了海杂波的盒维数，又通过分析海杂波的统计特性，发现其偏离高斯分布并具有长时相关性，且在较大的范围内具有尺度不变性，因此，利用多重分形模型可以较好的刻画海杂波的复杂特性。本文从时间和空间上综合考虑，利用杂波与含目标单元多重分形谱的差别，提出一种新的检测方法。对实测数据的分析表明该方法是有效的，并且具有较小的计算量，为海杂波背景下的目标检测提供了一条新的思路和有效手段。

1 分形维数（盒维数）

分形是一类复杂性颇高的、没有特征长度，但具有一定意义下的自相似的图形和结构的总称[10]。分形维数是分形对象的复杂度和不规则度的定量描述，分形维数是分形的极其重要的特征数，是刻画分形的不变量。当海面上存在舰船目标时，会改变该区域海面的运动状态，将在雷达回波信号的分数维差异中体现出来。

对于分形维数有很多不同的定义，最好的理论定义是Hausdorf维。但由于Hausdorf维数计算复杂，实际中一般用其他定义来计算分形维数。在求解分形维数的方法中，盒维数是应用最广泛的维数之一。盒维数的计算方法如下[11]：

（1）选择一个一定长度的曲线F将其长度与幅度归一化后放入一正方形内。

（2）选取边长为εm(m=1,2,…,M)的方格网（盒子）去覆盖单位正方形，计算不同尺寸εm下与F交叠的盒子个数Nm(ε)。当εm→0时，则盒子恰好包含F的一个点，亦可认为此时盒子与点的形状完全符合，正好填满F。

（3）定义盒维数 Db=lgNm(ε)/(-lgεm)。 分数维是盒维数在 εm→0 时的极限值。实际中盒子尺寸不可能无穷小，但只要小到一定程度后，结果差距相当微弱，就可以用盒维数来取代分数维作为分析的对象.

（4）如果曲线是一种完全的分形，则对数比曲线Db=lgNm(ε)/(-lgεm)为一直线，盒维数Db就是该直线的斜率，如果对数比曲线不是理想直线，说明该图形分形特征不明显，则用对数比曲线的最小方差拟合直线的斜率来代替。同时，Mandelbrot有效维数的概念也说明分形特征是有尺寸范围的。所以实际处理盒维数时，应该从对数比值趋于稳定，对数比曲线趋于直线的范围内开始拟合。

本文使用的实测海杂波数据为本研究所采用的海杂波数据是某S波段雷达于2010年5月在某海湾采集到的，该雷达架设在海拔500m的山上，临海。雷达的主要参数如下：

线性调频信号，中频30MHz，带宽5MHz，采样频率40MHz，脉宽46μs，锥形波束宽度 1.0°，天线固定不转，入射余角 1.0°。

图1为某一段长度为100的海杂波经归一化后，εm=0.10时的覆盖情况，图2为最小二乘拟合的情况，经计算得Db=1.4756。当数据长度数增加时，盒子越小越精确。

图1 盒维数法图示

图2 lgNm(ε)/(-lgεm)

表1给出了实测海杂波数据与目标数据在不同时刻的盒维数计算结果。由表1可看出含目标时的海杂波的盒维数明显大于不含杂波的情况。但在高海态等情况下，海杂波和目标回波的分维值的平均值相差较小，而从整体上看两者的分维值交叠在一起，仅用其进行检测是不可靠的[12]。

表1 海杂波的分形维数

2 多重分形的判定及谱函数的计算

分形盒维数能反映分形信号的几何特征信息，对信号的复杂度、和全局性进行定量的描述。但计盒维数法计算认为只要盒子内有图形的像素这个盒子就被计进来，而不考虑盒子内像素的多少，这样得到的分维必然失去很多信息，这便是单一分形不够细致之处；而多重分形考虑盒子内像素或者其他物理量的差别，归一化之后得到一个概率分布的集，再用一个多重分形谱进行描述，得到的结果包含了许多被单一分形忽略的信息。

在计算海杂波的多重分形特性之前，首先应判断其偏离高斯分布并具有长时相关性，且在较大的范围内具有尺度不变性[13]。

为了检验海杂波是否具有非高斯特性，计算其偏度系数Cs和峰度系数Ck：

其中μk=E(X-EX)k,k=2,3,4。偏度系数刻画分布函数的对称性，锋度系数刻画不同类型分布的集中和分散的程度。对于正态分布来说，Cs=0,Ck=3。 经计算，本文采用的实测杂波数据，其 Cs＞0,Ck＞3，与高斯分布有一定差距，因此海杂波数据具有非高斯特性。

下面采用对数方差—时间图法[14]分析海杂波的长时相关性。图3中作出了对数方差—时间曲线，如果海杂波数据的对数方差—时间曲线斜率大于-1，则具有长时相关性。有图显然可以得到肯定的结论。

图3 海杂波的对数方差—时间曲线

如果上式在一定的m区间内成立，则序列具有分形特性。此外，如果质量指数τ(q)不是q的线性函数，那么称被观察序列在这一区间存在多重分形特性；否则，就为单一分形[15]。利用上述方法对一段实测海杂波进行分析，结果如图4所示。图4给出了不同q值下的log2(m)～log2(Sm(q))曲线，可以看出式（4）在较大范围内均成立，这表明海杂波具有多重分形特性。

图4 海杂波的log2(m)～log2(Sm(q))曲线

下面给出多重分形谱的计算方法。在式（4）的线性区间内，利用最小二乘法求解下式得到：

对 q～τ(q)进行如式（6）、（7）所示的 Legendre 变换即可得到多重分形谱。

式中：τ(q)为标度指数；f(α(q))即为多重分形谱函数。

由图5以看到质量指数τ(q)不是q的线性函数，图中有一个明显的折点。图6给出了标度指数α(q)随q变化情况，可以看到在零附近有一次骤降。

综上，根据上文中提到的判定准则，认为本批数据是多重分形的，多重分形谱如图7所示，并且其在其在q=0处取得最大值1。

图5 q～τ(q)曲线

图6 q～α(q)曲线

图7 海杂波的多重分形谱函数

图8 多重分形谱对比

图8分别给出了含目标与不含目标的距离单元在不同时刻的多重分形谱。从该图可以看到，海杂波数据在存在目标时，谱宽变窄，而多重分形谱宽的大小反映了整个分形结构上概率测度分布不均匀性的程度和过程的复杂性，谱宽越宽，谱的结构越丰富，过程相对越复杂，这表明海杂波比目标复杂。这一差别在谱的左边尤其明显，这表明α较小(大概率)的部分差别更大。而目标与目标、杂波与杂波在不同时刻的差别较小，这表明多重分形谱较为稳定，适合用于检测。

为了利用这种差别来判别海面某一区域是否出现目标，我们计算f(α)对α的积分，表2列出了积分的结果。从表2可看出含目标的距离单元相应的积分结果明显小于不含目标的情况，这与图8一致。如果设定合适的门限，则可根据积分值判断目标的出现，而且文献[6]表明在数据长度达到2000点时，分形估计就趋于稳定，因而使用分形方法进行的检测计算量小于传统的基于统计建模的方法，时效性也更好。图9为检测方案。

表2

图9 检测方案图

3 结束语

本文分析计算了海杂波的分形维数及多重分形特性。由本文的分析，可以看出实测的海杂波序列具有多重分形特性，利用多重分形谱可以较好的描述复杂不规则的海杂波序列。在此基础上，利用杂波包含与不包含目标时多重分形谱的差别，提供了一种检测海上目标的新方法，该方法具有计算量小的优点。由于本文所用的数据有限，还有待于利用更多数据进一步详细地评估该方法。

［1］H C.Chan.Radar sea-clutter at low grazing angles[J].IEE Proceedings,1990,137:102-112.

［2］S.Haykin,R.Bakker,B W.Currie.Uncovering nonlinear dynamics-the case study of sea clutter[J].IEEE Proceedings,2002,90:860-881.

［3］S C.Guedes,Z.Cherneva,E.M.Antao.Steepness and asymmetry of the largest waves in storm sea states[J].Ocean Engineering,2004,31:1147-1167.

［4］E.Conte,A D.Maio.Mitigation techniques for non-Gaussian sea clutter[J].O-ceanic Engineering,2004,29:284-302.

［5］B.B.Mandelbrot,W.H.Freeman.The Fractal Geometry of Nature[J].W.H.Freeman,San Francisco,CA,1982.

［6］T.Lo,H.Leung,J.Litva and S.Haykin.Fractal characteristics of sea scattered signals and detection of sea-surface targets[J].IEE Proceedings,1993,140:243-50.

［7］S.Haykin,S.Puthusserypady.Chaotic dynamics of sea clutter[J].Chaos,1997,7:777-802.

［8］F.Berizzi,E.Dalle-Mese.Fractal analysis of the signal scattered from the sea surface[J].Antennas Propagation,1999,7:324-338.

［9］J.Chen,K Y.Lo,H.Leung and J.Litva.The use of fractals for modeling EM waves scattering from rough sea surface[J].Geoscience and Remote Sensing,1996,34:966-972.

［10］英林,谢胜利,等.信号处理新方法导论[M].北京:清华大学出版社,2004.

［11］W D.Hu,W X.Yu,A.Luo.Fractal detection of radar weak targets[J].IEEE Proceedings,1995,1:140-144.

［12］杜干,张守宏.分形模型在海上雷达目标检测中的应用[J].电波科学学报,1998,13:377-381.

［13］石志广,周剑雄,付强.基于多重分形模型的海杂波特性分析与仿真[J].系统仿真学报,2006,18:2289-2292.

［14］W.Leland,M.Taqqu,W.Willinger and D.Wilson.On the self-similar nature of Ethernet traffic(extended version)[J].IEEE/ACM Transactions on Networking,1994,2：1-15.

［15］J.Hu,W W.Tung,J B.Gao.Detection of Low Observable Targets Within Sea Clutter by Structure Function Based Multifractal Analysis[J].IEEE Transactions,2006,54:136-143.