熊 兵，陈林根，戈延林，孙丰瑞

（海军工程大学 热科学与动力工程研究室 舰船动力工程军队重点实验室动力工程学院，武汉 430033）

0 引言

自有限时间热力学理论应用于实际热机循环的性能分析和优化以来，在各个不同时期取得了一系列研究成果，对Otto循环的有限时间热力学分析也取得了一些进展［1－5］。Mozurkewich等［6］应用最优控制理论优化Otto循环的活塞运动规律，Aizenbud等［7］应用活塞式加热气缸中活塞最优运动规律，分析了内燃机循环性能。Wu和Blank［8］研究了燃烧对内可逆Otto循环性能的影响，得到了循环输出功最大时的最佳压缩比同循环最高温度的变化关系。

这些工作都是在简化模型的基础上进行的，为了更完备地描述实际热机的工作情况，已有不少文献在完善模型上做了大量工作：Angulo-Brown等建立了一类考虑有限时间特性和摩擦损失的不可逆Otto循环模型，并分析了摩擦损失［9］，内不可逆性和摩擦损失［10］对循环功率、效率性能特性的影响。陈林根等导出了存在传热损失［11］，存在摩擦和传热损失［12］时Otto循环的功率效率特性。訾琨等［13］考虑了热机实际工作过程中的机械损失，建立了热机热力循环有限时间热力学模型，分析了机械损失和循环参数对热机输出功率、效率的影响，所得结论与实际工作过程相吻合。Descieux等［14］考虑传热和摩擦损失对火花式发动机循环进行了仿真研究，分析了汽缸容积、冲程长度与汽缸直径之比、压缩比、汽缸壁温度以及燃料空气之比对仿真结果的影响。

但以上工作均是假设热机的压缩和膨胀过程为不吸热、不放热的绝热过程，应该可以得到进一步完善。文献［15］建立了一类包含多变过程的Otto循环模型，用多变过程的吸、放热量表征实际热机工作中的损失，用经典热力学方法分析了多变指数对空气标准Otto循环功率和效率特性的影响。

本文将在此文献的基础上，综合考虑循环过程中的传热损失，应用有限时间热力学理论导出包含传热损失和多变过程的内可逆Otto循环输出功、效率特性关系，分析了多变指数、燃烧热值和传热损失对循环输出功、效率的影响，得出了循环的最大输出功以及对应的最佳工作效率。

1 包含多变过程的内可逆Otto循环模型

空气标准Otto循环模型如图1中1—2—3—4—1所示。图1分为多变指数n＜k（图1（a））和n＞k（图1（b））两种情况考虑（k为绝热指数，k＝cP／cV，cP、cV分别为工质的定压比热和定容比热）。

图1 包含多变过程的Otto循环T-s图

包含多变过程的Otto循环用两个多变过程替代实际过程中不可能实现的两个绝热过程，可更加真实反应实际热机的工作情况。循环中对应的参数为：各状态点的温度Ti（i＝1，2，3，4，1′，2′，3′，4′），压力Pi（i＝1，2，3，4，1′，2′，3′，4′），容积Vi（i＝1，2，3，4，1′，2′，3′，4′）。

1.1 n＜k时循环模型分析

如图1（a）中实线所示，在包含多变过程的Otto循环中，当多变指数n小于绝热指数k时：因初始点温度T1′高于空气标准Otto循环的初始点温度T1，故多变过程1′—2为放热过程才可达到压缩过程后的温度T2。考虑定容加热过程中的传热损失，经历定容过程后的温度T3′肯定低于空气标准Otto循环的最高点温度T3。同理，多变过程3′—4经历膨胀做功后到温度T4的过程为放热过程。

考虑定容放热过程中的传热损失，故最低点温度T1′高于空气标准Otto循环的最低点温度T1。

设Otto循环中工质为理想气体，可得单位工质每循环周期的吸热量、放热量的表达式为：

1′—2为放热过程：

2—3′为吸热过程：

3′—4为吸热过程：

4—1′为放热过程：

由式（1）至式（4）可得：

式中：Qin为单位工质每循环周期总吸热量；Qout为单位工质每循环周期总放热量。

对于理想Otto循环，不考虑传热损失。而对于实际Otto循环，工质和气缸之间的不可逆传热损失是不能忽略的。

假设通过气缸壁的传热损失与工质和环境的温差成正比，可得燃烧工质吸收的热量满足线性关系［11－12］：

式中：α和β为与燃烧和传热有关的常数。

由式（2）和式（6）可得T3′的表达式为：

对于绝热过程1—2和多变过程1′—2有：

式中：r＝V1／V2为压缩比。

由式（8）可得：

对于绝热过程3—4和多变过程3′—4有：

由式（10）可得：

将式（7）、（9）和式（11）代入式（1）～式（5），可得循环输出功、循环效率的表达式为：

由式（12）可知，循环输出功存在两个零点，相应压缩比为rW＝0＝1、rW＝0＝［α／（2βT1）］1／（k－1），故存在一个最佳压缩比rW，opt使输出功取最大值，输出功W对r求极值：

由式（14）可得：

将多变指数n、燃烧热值α、传热损失β和温度T1代入式（15），可解得最大输出功时对应的压缩比rW，opt，将所求rW，opt代入式（12）、（13），可得循环最大输出功Wmax及其相应的效率ηW。

同理，由式（13）可知，也存在最佳的压缩比rη，opt，对应于最大循环效率ηmax及其相应的输出功Wη。但由于解析解难以求出，只能由数值计算得到。

1.2 n＞k时循环模型分析

如图1（b）中实线所示，在包含多变过程的Otto循环中，当多变指数n大于绝热指数k时：同1.1节分析，定容加热过程2-3中存在传热损失，经历多变过程1-2′的最高温度T2′高于空气标准Otto循环的绝热压缩过程最高温度T2；定容放热过程4-1也存在传热损失，经历多变膨胀过程3-4′的最低温度T4′低于空气标准Otto循环的绝热压缩过程最低温度T4。因此多变过程1-2′为吸热过程、多变过程3-4′为放热过程。

设Otto循环中工质为理想气体，可得单位工质每循环周期的吸、放热量的表达式为：

1-2′为吸热过程：

2′-3为吸热过程：

3-4′为放热过程：

4′-1为放热过程：

与1.1节推导过程类似，可得T3的表达式为：

由图1（b）可得各状态点温度之间的关系为：

同1.1节推导过程，可得n＞k时循环输出功、循环效率的表达式为：

由式（22）可知循环输出功存在两个零点，相应压缩比为rW＝0＝1、rW＝0＝［α／（2βT1）］1／（n－1），故存在一个最佳压缩比使输出功取最大值，同1.1节分析，可得：

将式（24）代入式（22）、（23），可得循环最大输出功Wmax及其相应的效率ηW的表达式为：

同理，由式（23）可知，也存在最佳的压缩比rη，opt，对应于最大循环效率ηmax及其相应的输出功Wη。但由于解析解难以求出，只能由数值计算得到。

1.3 讨论

由式（12）、（13）、（22）、（23）可得，当n＝k时，式（12）和式（22）均可简化为：

同理，式（13）和（23）可简化为：

同1.1节分析，可得最大输出功时的压缩比rW，opt、最大输出功Wmax及其相应的效率ηw的表达式为：

此时，循环输出功W 对压缩比r存在极值，而循环效率η与压缩比r呈单调递增关系。所得结果为内可逆空气标准Otto循环输出功和效率特性，与文献［11］一致。可见，多变过程的存在，改变了循环输出功和效率特性。

2 数值算例

根据文献［11，15］确定相关参数：α＝2 500～4 500 kJ／kg，β＝0.3～1.8 kJ／（kg·K），cV＝0.716 5 kJ／（kg·K），T1＝350 K，k＝1.4。

在以上取值范围内，可计算得到不同参数组合下的W－r、η－r和W－η曲线如图2～图11所示。

2.1 n＜k时Otto循环性能分析

2.1.1 多变指数n对循环性能的影响

图2～图4中分别给出了n＜k时，不同多变指数n下循环输出功W和效率η与压缩比r、输出功W与效率η的特性关系。

图2 n＜k时输出功与压缩比的特性关系

从图2中可以看出，循环输出功W与压缩比r特性关系呈类抛物线关系，存在一个最佳压缩比rW，opt，使循环输出功最大，且循环最大输出功Wmax随多变指数n增大而减小，当W＝0时的压缩比rW＝0与多变指数n无关。

图3 n＜k时效率与压缩比的特性关系

从图4中可以看出，最大输出功时的效率ηW随多变指数n增大而增大，且变化较为明显。

从图3中可以看出，当n＝k＝1.4时，效率η与压缩比r呈单调递增关系；当n＜k时，效率η与压缩比r呈类抛物线关系，存在一个最佳压缩比rη，opt使效率最大，循环最大效率ηmax与多变指数n呈单调递增关系，且η＝0时对应的压缩比rη＝0与多变指数n无关。

图4 n＜k时输出功与效率的特性关系

从图4中可以看出，最大效率时的输出功Wη随多变指数n增大而减小，且变化较为明显。

综上所述，多变指数n对循环性能有较为明显的影响。

2.1.2 燃烧热值（α）和传热损失（β）对循环性能的影响

图5、图6中分别给出了n＝1.3时，燃烧热值和传热损失对循环输出功W、效率η的影响特性。α反映的是燃料本身热值的大小，α越大则表示燃料的热值越高；而β反映的是传热损失的大小，β越大则传热损失越大。

由图5、图6可知，最大输出功Wmax及其对应的效率ηW、最大效率ηmax及其对应的输出功Wη随燃烧热值α的增大而增大，而随传热损失β的增大而减小，且传热损失对性能的影响更为明显。本例中，当α增加25%时，循环的最大输出功Wmax增加约52.6%，其对应的效率ηW增加约10.6%；循环的最大效率ηmax增加约10.1%，其对应的输出功Wη增加约53.5%。当β减小58%时，循环的最大输出功Wmax增加约195.1%，其对应的效率ηW增加约33.2%；循环的最大效率ηmax增加约27.3%，其对应的输出功Wη增加约217.1%。

图5 n＝1.3时α对输出功、效率特性的影响

图6 n＝1.3时β对输出功、效率特性的影响

2.2 n＞k时Otto循环性能分析

2.2.1 多变指数n对循环性能的影响

图7～图9中分别给出了n＞k时，不同多变指数n下循环输出功W和效率η与压缩比r、输出功W与效率η的特性关系。

图7 n＞k时输出功与压缩比的特性关系

从图7中可以看出，循环输出功W与压缩比r特性关系呈类抛物线关系，存在一个最佳压缩比rW，opt，使循环输出功最大，循环最大输出功Wmax随多变指数n增大而减小，且变化明显。当W＝0时对应的压缩比rW＝0与多变指数n有关，rW＝0随多变指数n增大而减小，且变化明显。从图9中可以看出，最大输出功时的效率ηW随多变指数n增大而减小，且变化明显。

图8 n＞k时效率与压缩比的特性关系

图9 n＞k时输出功与效率的特性关系

从图8中可以看出，当n＞k时，效率η与压缩比r呈类抛物线关系，存在一个最佳压缩比rη，opt使效率最大。循环最大效率ηmax随多变指数n增大而减小，且η＝0时对应的压缩比rη＝0与多变指数n有关，且变化较为明显。

从图9中可以看出，当n＞k时，最大效率时的输出功Wη随多变指数n增大而减小，且变化明显。

综上所述，多变指数对循环性能有较大影响。

2.2.2 燃烧热值（α）和传热损失（β）对循环性能的影响

图10、图11中分别给出了n＝1.6时，燃烧热值和传热损失对输出功W与效率η的影响特性。

由图10和图11可知，最大输出功Wmax及其对应的效率ηW、最大效率ηmax及其对应的输出功Wη随燃烧热值α的增大而增大，而随传热损失β的增大而减小，且由分析可知传热损失对性能影响更为明显，变化规律同n＜k时一致。本例中，当α增加25%时，循环的最大输出功Wmax增加约50.9%，其对应的效率ηW增加约10.8%，循环的最大效率ηmax增加约10.8%，其对应的输出功Wη增加约51.4%；当β减小58%时，循环的最大输出功Wmax增加约183.1%，其对应的效率ηW增加约34.5%，循环的最大效率ηmax增加约28.8%，其对应的输出功Wη增加约201.1%。

图10 n＝1.6时α对输出功、效率特性的影响

图11 n＝1.6时β对输出功、效率特性的影响

3 结论

本文应用有限时间热力学理论对包含多变过程的内可逆Otto循环进行了研究，给出了循环输出功与压缩比、效率与压缩比以及输出功与效率的特性关系，通过数值计算分析了多变指数和传热损失对循环性能的影响。结果表明：

1）在绝热过程难以实现的情况下，n＜k时内可逆Otto循环性能优于n＞k，适当减小多变指数可得到较优的循环性能。

2）传热损失对循环性能有较大影响，减小传热损失可较大幅度提高热机的工作性能，应通过强化缸壁绝热性能等方式减小传热损失。

3）循环压缩比在rW，opt≤r≤rη，opt范围内可得到循环输出功与效率的协调优化，设计热机时应选择合适的压缩比，从而保证热机获得较优的工作性能。

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