郭时光

（四川理工学院理学院，四川自贡643000）

可积函数中位值的积分表达式

郭时光

（四川理工学院理学院，四川自贡643000）

研究可积函数在均衡点处的中位值，首先引入可补点、中位值和均衡点的概念，然后使用它们将Rimann引理推广，得出中位值的积分极限表达式，最后给出中位值的Fourier积分表达式。这个结果主要应用于计算函数的Fourier积分表达式在间断点处的值。

Rimann引理；Fourier积分公式；可补点；中位值；均衡点

在著名的Rimann引理中，由于没有给出函数在间断点处的表达式［1］，这使得难以明 Fourier积分公式［2］在间断点处成立与否［3-9］。为了改善这种状况，引入可补点、中位值和均衡点的概念，从而将Rimann引理推广到间断点处的讨论中。

（1）f（t）在区间（-∞，+∞）内有界。

1 基本概念和主要定理

设函数f()t在点t=x的某个邻域内有定义，在点t=x处，如果函数f（t）的左极限与右极限f（x±0）均存在，则称t=x是函数f（t）的可补点。如果t=x是函数f（t）的可补点，则称是函数f（t）在t=x处的中位值。

设t=x是函数f（t）的可补点，如果存在正数δ，使得集合

均为有界集，则称点t=x为函数f（t）的均衡点。

定理1设f（t）是定义在区间（-∞，+∞）的函数，如果它满足下列两个条件∶

定理2设f（t）是定义在区间（-∞，+∞）的函数，如果它满足定理1中的两个条件，则当t=x是f（t）的均衡点时，成立着下列中位值的积分表达式

2 主要引理

引理1如果函数f（t）在区间［a，b］有界且可积，则有

证明由条件可知，对于任意给定的正数ε，存在分

划a=t0＜t1＜t2＜…＜tn-1＜tn=b，使得

其中，Mk，mk依次是函数f（t）在区间［tk-1，tk］上的最小上界与最大下界，Δtk=tk-tk-1（k=1，2，…，n），作函数

则有

用式（4）与式（5），得

可见式（3）成立。证毕。

3 定理证明

定理1证明分为三个部分。

第一部分∶证明等式（1）左端的积分存在。首先，由于t=x是f（t）的均衡点，故可取得一个正数δ，使得函数关于变数t在区间（0，δ］上有界。再用条件（2），可知积分

第二部分∶证明下列等式成立，

用积分换元法，可得

将等式两边同时加上其左边，然后将所得等式两边同除以2，即得式（6）。

第三部分∶证明式（1）成立。用Dirichlet积分，当λ＞0时，得

由此可得

在式（7）中，由于各个被积函数关于变数λ均为奇函数，所以当λ＜0时式（7）也成立。

现在证明当λ→∞时，式（7）中最后一个等号后面的两个积分均趋于零。用第一部分的结论和引理1，得

而用积分换元法和Dirichlet积分收敛性，得

于是由式（7），得

同理，得

将式（8）与式（9）相加，得

式（10）中令a→+∞，即得

将式（11）左边的积分换为式（7）左边的积分，即可得式（1）。证毕。

定理2的证明∶根据条件，分别用交换积分次序和定理1，得

证毕。

4 应用举例

例2δ-函数δ（x）是无界函数，它不满足Fourier积分定理的条件。如果一定要用Fourier积分公式将其表示为积分形式，则用筛选性质和积分性质，得

式中最后一个等号右边的积分在通常意义下是不存在的，但是，在工程技术应用中却认可上面的计算式。由此可见，δ-函数的引入，是会产生一些不寻常现象的。

［1］江泽坚.数学分析［M］.北京:人民教育出版社'1965.

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Integral Expression of the Median Value of the Integrable Function

GUO Shiguang
（School of Science，Sichuan University of Science&Engineering，Zigong 643000，China）

Themedian value at the equilibrium point of the integrable function is studied.At first，the concepts of the fillable point，themedian value and equilibrium point are introduced，and then by using them to generalize Rimann lemma，the integral limit expression ofmedian value is obtained.Finally，the Fourier integral expression of themedian value is given. This result ismainly used in calculating the value at the discontinuities of the Fourier integral expression of the function.

Rimann lemma；Fourier integral formula；fillable point；median value；equilibrium point

O175

A

1673-1549（2014）01-0088-04

10.11863/j.suse.2014.01.22

2013-09-13

郭时光（1955-），男，重庆荣昌人，副教授，主要从事数学物理方程与代数方面的研究，（E-mail）youare20002000@qq.com