翁远珍+杨唐桂

每年高考试题丰富多彩，形式各样，而且都是原创题，但是对数学知识考查及解法却是大同小异，有些高考题更是可看成是平时一些模拟题的变式提高，关键是能不能发现其中的联系.下以两题为例.

一、原题展示

题目1 （2013年高考新课标1（理）第12题）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，则（ ）.

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D.{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

题目2 （2012武汉模拟）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x，△CPD的面积为f（x）.则f（x）的定义域为 ；f（x）的最大值为 .

二、发现联系

粗一看这两道题一个问的是数列问题，一个问的是函数问题，两者没什么关系.可细一看，不难发现，两者都涉及到三角形的面积.

再细分析条件 对于题目1

因为an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值.

对于题目2

由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x，边长DC为定值，另两边CP+DP=6为定值.

可见两题本质相同，实是考查同一知识：已知三角形三边中一边长为定值，另两边长之和为定值，求三角形面积问题.

三、解法探究

因为两题本质相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下几种：

方法一：

因为三角形周长为定值，故可用海伦公式求解

题目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周长，各三角形半周长相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是递增的，故{Sn}是递增的.选B

题目2中：由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因为△CPD中，两边之差小于第三边及两边之和大于第三边，所以得x∈（2，4），三角形的周长是一个定值8，

故其面积可用海伦公式表示出来，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3时，f（x）max=22.

方法二：

由于海伦公式在有些教材是作为阅读材料补充的，可能较多学生不会记忆，也可用三角形余弦定理求解.以题目2为例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，则f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

设∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，则S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三种方法都是围绕解三角形而来，而方法二与方法三在解题目2时易于想到，对于题目1却难以联想.而且对于这样一道选择题，对海伦公式不熟练的同学，也是想不到此公式的.那么，有没有更易于想到且计算更快的方法呢？由上分析已得知：题目1和题目2都是已知三角形三边中一边长为定值，另两边长之和为定值，求三角形面积问题.以上三法都是从三边出发而得，实际也可看成是三角形三顶点中两点固定，另一顶点运动.笔者经过进一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

题目1中，因为an+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn为焦点的椭圆上运动（不与E，F重合），如图.同方法一中，因为bn+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

当n→+∞时，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在椭圆顶点D两边摆动向D点靠近，由图易知，当An越向D点靠近，△AnBnCn的面积越大，故{Sn}是递增的.

此法用于题目2，亦可快速得出f（x）的最大值.

每年高考试题丰富多彩，形式各样，而且都是原创题，但是对数学知识考查及解法却是大同小异，有些高考题更是可看成是平时一些模拟题的变式提高，关键是能不能发现其中的联系.下以两题为例.

一、原题展示

题目1 （2013年高考新课标1（理）第12题）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，则（ ）.

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D.{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

题目2 （2012武汉模拟）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x，△CPD的面积为f（x）.则f（x）的定义域为 ；f（x）的最大值为 .

二、发现联系

粗一看这两道题一个问的是数列问题，一个问的是函数问题，两者没什么关系.可细一看，不难发现，两者都涉及到三角形的面积.

再细分析条件 对于题目1

因为an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值.

对于题目2

由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x，边长DC为定值，另两边CP+DP=6为定值.

可见两题本质相同，实是考查同一知识：已知三角形三边中一边长为定值，另两边长之和为定值，求三角形面积问题.

三、解法探究

因为两题本质相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下几种：

方法一：

因为三角形周长为定值，故可用海伦公式求解

题目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周长，各三角形半周长相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是递增的，故{Sn}是递增的.选B

题目2中：由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因为△CPD中，两边之差小于第三边及两边之和大于第三边，所以得x∈（2，4），三角形的周长是一个定值8，

故其面积可用海伦公式表示出来，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3时，f（x）max=22.

方法二：

由于海伦公式在有些教材是作为阅读材料补充的，可能较多学生不会记忆，也可用三角形余弦定理求解.以题目2为例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，则f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

设∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，则S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三种方法都是围绕解三角形而来，而方法二与方法三在解题目2时易于想到，对于题目1却难以联想.而且对于这样一道选择题，对海伦公式不熟练的同学，也是想不到此公式的.那么，有没有更易于想到且计算更快的方法呢？由上分析已得知：题目1和题目2都是已知三角形三边中一边长为定值，另两边长之和为定值，求三角形面积问题.以上三法都是从三边出发而得，实际也可看成是三角形三顶点中两点固定，另一顶点运动.笔者经过进一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

题目1中，因为an+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn为焦点的椭圆上运动（不与E，F重合），如图.同方法一中，因为bn+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

当n→+∞时，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在椭圆顶点D两边摆动向D点靠近，由图易知，当An越向D点靠近，△AnBnCn的面积越大，故{Sn}是递增的.

此法用于题目2，亦可快速得出f（x）的最大值.

每年高考试题丰富多彩，形式各样，而且都是原创题，但是对数学知识考查及解法却是大同小异，有些高考题更是可看成是平时一些模拟题的变式提高，关键是能不能发现其中的联系.下以两题为例.

一、原题展示

题目1 （2013年高考新课标1（理）第12题）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，则（ ）.

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D.{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

题目2 （2012武汉模拟）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x，△CPD的面积为f（x）.则f（x）的定义域为 ；f（x）的最大值为 .

二、发现联系

粗一看这两道题一个问的是数列问题，一个问的是函数问题，两者没什么关系.可细一看，不难发现，两者都涉及到三角形的面积.

再细分析条件 对于题目1

因为an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值.

对于题目2

由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x，边长DC为定值，另两边CP+DP=6为定值.

可见两题本质相同，实是考查同一知识：已知三角形三边中一边长为定值，另两边长之和为定值，求三角形面积问题.

三、解法探究

因为两题本质相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下几种：

方法一：

因为三角形周长为定值，故可用海伦公式求解

题目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周长，各三角形半周长相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是递增的，故{Sn}是递增的.选B

题目2中：由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因为△CPD中，两边之差小于第三边及两边之和大于第三边，所以得x∈（2，4），三角形的周长是一个定值8，

故其面积可用海伦公式表示出来，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3时，f（x）max=22.

方法二：

由于海伦公式在有些教材是作为阅读材料补充的，可能较多学生不会记忆，也可用三角形余弦定理求解.以题目2为例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，则f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

设∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，则S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三种方法都是围绕解三角形而来，而方法二与方法三在解题目2时易于想到，对于题目1却难以联想.而且对于这样一道选择题，对海伦公式不熟练的同学，也是想不到此公式的.那么，有没有更易于想到且计算更快的方法呢？由上分析已得知：题目1和题目2都是已知三角形三边中一边长为定值，另两边长之和为定值，求三角形面积问题.以上三法都是从三边出发而得，实际也可看成是三角形三顶点中两点固定，另一顶点运动.笔者经过进一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

题目1中，因为an+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn为焦点的椭圆上运动（不与E，F重合），如图.同方法一中，因为bn+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

当n→+∞时，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在椭圆顶点D两边摆动向D点靠近，由图易知，当An越向D点靠近，△AnBnCn的面积越大，故{Sn}是递增的.

此法用于题目2，亦可快速得出f（x）的最大值.