王美珍，刘学军，刘 丹

（南京师范大学虚拟地理环境教育部重点实验室，江苏南京 210046）

一、引 言

摄像机标定源于20世纪早期的摄影测量学，其后分别经历了传统摄像机标定、主动式摄像机标定和摄像机自标定3个阶段，是机器视觉、摄影测量学、计算机视觉等领域的重要命题。传统摄像机标定依赖精密的标定物和三维特征点信息获取设备，精度高，但过程复杂，计算量大；主动式标定无需标定物，通过控制摄像机作特定运动，由多幅像片获取多约束方程，从而解算出内参，方便快捷，但仍对拍摄过程有限制，不具通适性；摄像机自标定则是完全利用像片自身约束进行标定，对摄像机的位置、运动及场景都没有要求，缺点则是鲁棒性差，精度不高［1-3］。

摄像机自标定方法一般是利用多视图间的几何约束，在多视图之间同名点匹配的基础上，非线性求解摄像机内参数，如基于Kruppa方程方法、基于绝对二次曲线和绝对对偶二次曲面的方法等。Kruppa方程对噪声异常敏感，不具有鲁棒性，若要进行非线性优化，则难以获取稳定且唯一的解，有时甚至无解。因此需要发展一种方法，无需图像之间的匹配，仅仅依靠单幅图像中提供的几何信息获取约束方程，通过单独解算或联立多个方程求解内参。针对这一目标，本文总结了不同的变量对相机内参的约束，并通过对不同的几何特征、不同的计算方法进行统一的表达和计算，提出了统一的单视图图像相机标定的方法。

二、不同变量对相机内参的约束

1.摄像机的标定矩阵

2.灭点对相机内参的约束

根据拉盖尔定理:相机的主点是3个互相垂直消影所构成三角形的垂心；相机的焦距可由垂心和消影点计算而得。假设相机的畸变因子为0，纵横比为1，可得相机的三参数内参矩阵。当图像中只能获得两个互相垂直方向的灭点时，通常假设相机主点位于图像中心，此时相机为一参数模型［4-9］。此类方法仅仅需要一幅图像即可标定相机内参，通常焦距的标定能获取较好效果，但主点对灭点误差的敏感度非常高，适用于对相机进行弱标定。

两条正交直线的消影点为v1、v2，它们与绝对二次曲线的像ω的关系如下

因此，两个互相垂直的灭点能够提供一组对绝对二次曲线的约束［3］，即当有1组互相垂直的灭点时，可完成一参数相机模型的标定。若有3组相互独立的垂直灭点，则可计算三参数模型；有5组相互独立的垂直灭点，则可以计算五参数模型。因此针对不同的相机模型，给定足够数目的约束，ω就可以计算出来。

3.虚圆点对相机内参的约束

假设Im、Jm是两个虚圆点I、J的像，由于I、J是ω上的点，故Im、Jm应落在ω的像上，因此可得两个约束

在射影变换下，Im、Jm仍然为一对共轭点，故式（2）提供的约束实际上是等同的，但可以使实部虚部分别为零，得到关于ω的两个约束

式中，RE（*）、IM（*）分别表示计算结果的实部和虚部。因此，如果图像中能够计算出虚圆点信息，则在一幅图像中就可提供对绝对二次曲线的两个约束条件［10-13］。因此若能够提供3张以上的图像，则至少可提供6个约束，完成对五参数相机内参的标定；若仅能获取一幅图像，则仅能提供两个约束，完成一参数相机焦距的标定。

三、多约束相机内参统一计算方法

由上文可知，各个不变量都可通过绝对二次曲线的像对相机内参进行约束，但每一不变量对绝对二次曲线的约束形式却存在差异。因此，笔者首先将不同的约束表达为统一的形式，然后通过多约束优化计算相机内参。

1.多约束信息统一表达

不同的几何特征对相机内参提供不同的约束:①N组不相关的相互垂直的灭点，提供对相机内参N个约束；②虚圆点提供对相机内参两个约束。在利用这些信息进行标定时，需要将系统进行统一化表达，以便进行统一处理。

由上文可知，3个互相垂直方向上的灭点可以使用拉盖尔定理求解三参数相机模型的内参，而按照基于二次曲线的相机标定方法，可以用式（1）来表示，3组互相垂直的灭点提供3组约束。本节将其他不变量约束转化为相互垂直的灭点，对绝对二次曲线进行约束。

目前可用于计算虚圆点的几何特征主要包括:①圆形和灭线，可通过计算无数组两条互相垂直的直径来确定两个互相垂直的灭点［17］，由于它们之间具有相关性，可选择其中两组参与内参的计算；②两个不互相平行的矩形/正方形，其本身可确定两组互相垂直的灭点；③某一平面和图像平面之间对应的点/线坐标，可通过计算单应矩阵来获得两组互相垂直的灭点。

2.多约束下绝对二次曲线优化计算

当图像中包含多个约束条件时，可将其统一表达为如下形式

因此，至少需要5组非相关的互相垂直灭点才可确定五参数相机模型的内参矩阵；当包含4组非相关的互相垂直灭点时，可解算定四参数相机模型；以此类推，N个非相关约束，可解算N参数相机模型的参数。当存在相关的互相垂直的灭点时，则只能获得小于N的相机参数模型。从代数角度表现为矩阵A的秩，矩阵的秩即为可解算对应的相机参数模型。

3.内参矩阵统一计算

一旦绝对二次曲线ω确定，则可通过Cholesky分解求得对应的相机参数，也可通过绝对二次曲线与内参之间的关系，求解对象的相机参数，公式如下

当互相垂直的灭点确定之后，将其形成如式（5）中A的形式，求解A的秩，根据秩确定对应的绝对二次曲线特定形式，在此基础上，即可计算相机内参的值。当矩阵的秩等于矩阵的行数时，有唯一解；当矩阵的秩大于矩阵的行数时，可求解其优化解。

四、试验与分析

1.试验数据与试验结果

（1）试验数据

分别选用两幅室内外图像对本文方法进行测试，如图1所示，其中（a）为室内图像，（b）为室外图像，图片的相关信息见表1。

图1 测试图片

（2）标定结果

为了说明本文方法可用于任意相机参数模型，即可自适应根据几何特征的数量求解相应的相机参数，本文分别假定某一几何特征不存在，根据求解不同的相机模型，针对室内外场景进行测试。

为了能够标定更多的相机参数，并提高标定的精度，应该尽可能多地应用图像中的几何特征，又由于图像中每个平面最多能够提供对绝对二次曲线的两个约束，因此在图像标定过程中，既要注重多约束条件的应用又要注意多约束条件之间的相关性。

表1 真实场景试验数据

针对室内图像，首先求解每一组平行线确定的灭点，然后求解3个椭圆（圆形的像）确定的优化灭线，结合灭线及其相对位于图像中心椭圆，确定平面上两组互相垂直方向的灭点，结合垂直于此平面的灭点，一共形成4组互相垂直的灭点。不同的几何特征组合标定的结果见表2。

表2 室内图像测试结果

针对室外图像，首先求解每一组平行线确定的灭点，进而计算椭圆所在平面的灭线，然后结合灭线及其椭圆，确定平面上两组互相垂直方向的灭点，结合垂直于此平面的灭点，一共形成4组互相垂直的灭点。不同的几何特征组合标定的结果见表3。

2.试验结果分析

单幅图像相机自标定仅仅依赖图像中包含的约束信息，通常运用图像中的平行、垂直、圆形、矩形等几何特征，这些特征是一般场景中常见的对象所呈现的结构。如包含建筑物的场景，通常包含3个互相垂直方向的平行线组，即可获得3个相互垂直方向的灭点；室内场景，通常包括多个互相平行的平面，平面上存在各种类型的物体，可提供丰富的标定信息；道路场景，通常包含交通标志线、窨井盖、交通标志牌，其形状、尺寸亦可为相机标定提供约束。这些特征为单幅图像提供了丰富的约束，使得单幅图像标定成为可能。

表3 室外图像测试结果

测试结果表明，图像中包含的多种几何特征都能为相机内参的标定提供约束。理论上非相关的几何特征越多，所能标定的内参数量越多、精度越高，两幅图像的测试结果初步证实了这一点。

由于本文方法无需图像之间的匹配，图像之间独立对相机内参进行约束，因此本文方法也适用于同一相机在不改变内参的情况下，拍摄多幅包含一定数量几何约束的图像（图像刻画的场景之间无需相关）的相机标定。

五、结束语

本文提出的基于场景的相机自标定方法无需图像之间的匹配，只需要图像刻画场景中对象的约束信息，在约束信息充分的情况下可仅利用单幅图像进行相机标定，尤其适合室内外场景；方法无需传统标定方法中的标定模板，而选用场景中存在的对象，因此方法具有普适性，尤其适合结构化的室内外场景；方法无需相机作严格运动，只需要多幅图像在拍摄过程中相机内参不发生变化，减少了对拍摄过程的限制，因此方法具有方便性。更为重要的是，本文方法将所有的几何特征约束从形式上都转化为相互垂直的灭点，在几何过程中将不同参数模型采用同种方式求解，使得方法具有统一性。

单幅图像的自标定一直是摄像机标定的难题之一，目前的标定方法主要利用几何关系来约束相机参数，而由图像中对象的几何尺寸所提供的约束，由于需要较为相应的先验知识，目前应用较少。

通常对场景中可用的标定对象的尺寸、大小没有限制，场景中的正交信息、平行信息，或是多边形、多面体等都可通过人机交互来识别。而上述方法中有些涉及比例、角度等的先验信息，则须事先建立先验知识库，如足球场、篮球场的长宽比为固定的，在进行标定时，可作为已知值带入约束方程。目前已有相关方面的标定方法的研究［18］，随着对场景先验知识库的构建和完善，将有更多约束条件用于相机标定方法。

［1］ 孟晓桥，胡占义.摄像机自标定方法的研究与进展［J］.自动化学报，2003，29（1）:110-124.

［2］ 邱茂林，马颂德，李毅.计算机视觉中摄像机定标综述［J］.自动化学报，2000，26（1）:43-55.

［3］ HARTLY R，ZISSERMAN A.Multiple View Geometry in Computer Vision［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2002.

［4］ 谢文寒，张祖勋，张剑清.一种新的基于灭点的相机标定方法［J］.哈尔滨工业大学学报，2003，35（11）:1384-1387.

［5］ 李立冬，刘教民.单目视图下相机标定和平面测距研究［J］.河北科技大学学报，2005，26（1）:47-50.

［6］ 邱卫国，昂海松.基于单张平行六面体照片的摄像机标定方法［J］.传感器技术，2005，24（6）:85-88

［7］ 魏锋，王小林.采用单幅圆柱体图像的摄像机标定［J］.工程图学学报，2009，30（1）:109-113.

［8］ 杨敏，沈春林.未标定单幅结构场景图像的三维重构［J］.中国图象图形学报，2004，9（4）:456-459.

［9］ CRIMINISI A，REID I，ZISSERMAN A.Single View Metrology［C］ ∥ Proceedings ofthe 7th IEEE International Conference on Computer Vision.Kerkyra:［s.n.］，1999:434-441.

［10］ KIM J S，GURDJOS P，KWEON I S.Geometric and Algebraic Constraints of Projected Concentric Circles and Their Applications to Camera Calibration［J］.IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2005，27（4）:637-642.

［11］ ZHONG H，MAI F，HUNG Y S.Camera Calibration Using Circle and Right Angles［C］∥18th International Conference on Pattern Recognition.Hong Kong:［s.n.］.2006:646-649.

［12］ 孟晓桥，胡占义.一种新的基于虚圆点的摄像机自标定方法［J］.软件学报，2002，13（5）:957-965.

［13］ 吴福朝，王光辉，胡占义.基于矩形的确定摄像机内参数与位置的线性方法［J］.软件学报，2003，14（3）:703-711.

［14］ 祝海江，陈西，马昕.基于射影不变性的单幅图像的测量及相机标定［J］.北京化工大学学报:自然科学版，2008（5）:330-334.

［15］ 祝海江，吴福朝，胡占义.基于两条平行线段的摄像机标定［J］.自动化学报，2005，31（6）:853-864.

［16］ 段福庆，吴福朝，胡占义.基于平行性约束的摄像机标定与 3D重构［J］.软件学报，2007，18（6）:1350-1360.

［17］ CHEN Y S，IP H，HUANG Z J，et al.Full Camera Calibration from a Single View of Planar Scene［C］∥Advances in Visual Computing:4th International Symposium.Las Vegas:［s.n.］，2008.

［18］ MIYAGAWA I，ARAI H，KOIKE H.Simple Camera Calibration from a Single Image Using Five Points on Two Orthogonal 1-D Objects［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2010，19（6）:1528-1538.