韩建群，田 莹，刘 严

HAN Jianqun,TIAN Ying,LIU Yan

渤海大学 工学院，辽宁 锦州 121000

College of Engineering,Bohai University,Jinzhou,Liaoning 121000,China

1 引言

众所周知，能够产生奇异吸引子的动力学系统很多，主要有Lorenz系统[1-4]、Logistic映射[5-7]、Henon映射[8-10]和Duffing系统[11-15]。确定性杜芬（Duffing）方程是G.Duffing在19世纪研究机电系统时提出的力学模型，后来一直作为非线性动力学、特别是混沌研究中的一个范例，在刘华杰所著《分形艺术》中曾指出：日本京都大学上田皖亮研究此方程达三十多年，并且他发现微分方程中蕴含的混沌要比洛仑兹（Lorenz）更早，这一情况可以通过他的著作《通向混沌之路》得知。另外，他于1978年使用非线性电感、电容加上正弦电压构成非线性电路进行仿真试验，发现了方程 x¨+kx˙+x3=rsin(ωt)所描述的非线性电路中的混沌现象，开辟出一条从准周期进入混沌的道路。

随着对混沌理论不断地深入研究，混沌系统广泛应用于诸多科学技术领域，从强噪声背景中提取微弱有效信号是一个混沌应用的重要发展方向[12-14]。从文献[12-16]研究对象来看，目前对Duffing方程的研究都是采用二阶微分方程的形式或状态方程的形式，本文通过对Duffing方程非线性恢复力进行变量分解定义，建立了三阶Duffing状态方程，该方程有助于将Duffing方程中非线性变量信息分解出来。

2 三维Duffing系统模型建立

Duffing方程是表示混沌行为的最简单系统之一，它可以描述许多不同的物理系统，文献[15-16]给出的Duffing系统可以由下面的状态方程（1）描述：

其中，rcosωt是内置信号，k为阻尼系数，x-x3为非线性恢复力。传统的Duffing系统的研究常采用二维方程式（1）的形式，这样一般只能考察二维信息，本文拟通过改变方程式（1）的维数并建立与其等效的三维的Duffing状态方程，从而可以得到有关Duffing系统更多更直观的信息。……