左 可 正

(湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)



两个幂等元之和的可逆性

左 可 正*

(湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

研究在一个有单位元的环中的两个幂等元之和的可逆性问题,利用幂等元的性质,得到了两个幂等元之和可逆的几个充分必要条件,并给出了它们在矩阵环中的几个应用.

有单位元的环; 幂等元; 可逆性; 矩阵环

Wimmer在文献[1-2]和Rakocˇevic＇在文献[3]中都研究了Hilbert空间中的两个正交投射算子的和与差的可逆性问题.在文献[4]和文献[5]中,Groβ和Trenkler,Koliha等研究了两个幂等矩阵的和与差的可逆性问题.而在文献[6]和文献[7]中,Koliha和Rakocˇevic＇, Zuo研究了两个幂等矩阵的线性组合aP+bQ及两个幂等矩阵的组合aP+bQ-cPQ的可逆性问题(其中P,Q是两个n阶幂等矩阵,a,b是两个非零复数,c是一个复数).以更一般的形式,Koliha和Rakocˇevic＇在文献[8]中研究了有单位元环中两个幂等元之差的可逆性问题.而Zuo在文献[9]中又得出了几个幂等元之差可逆的充要条件.

本文则进一步给出有单位元的环中两个幂等元之和可逆的几个充要条件,并指出它们在矩阵环中的一些应用.

下面介绍必要的符号和预备引理.

本文恒设R是有单位元的结合环;R的单位元记作1,R的零元记作0,且1≠0.用R-1表示R的所有可逆元构成的集合;C(R)={z∈R|xz=zx,∀x∈R}记作R的中心.对a∈R令:

aR={ax|x∈R},Ra={xa|x∈R},

aRa={axa|x∈R};

a0={x∈R|ax=0},

0a={x∈R|xa=0}.

如果f∈R满足f2=f则称f为R的幂等元.

关于幂等元以下的性质是需要的.

引理1如果f是R的幂等元,a∈C(R), 1+a∈R-1则1+af∈R-1.

证明由条件容易得出下面的等式

(1+af)[1-a(1+a)-1f]=

[1-a(1+a)-1f](1+af)=1,

所以1+af∈R-1.

如果a∈R满足a∈aRa则称a为R的正则元.关于正则元有下面容易证明的引理……