李上钊，廖小莲，江丽媛

（1.常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500；

2.湖南人文科技学院 数学系，湖南 娄底 417000；

3.苏州大学 数学科学学院，江苏 苏州215006）

Suziki群与2-（v，17，1）设计的自同构群

李上钊1，廖小莲2，江丽媛3

（1.常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500；

2.湖南人文科技学院 数学系，湖南 娄底 417000；

3.苏州大学 数学科学学院，江苏 苏州215006）

设D是一个2-(v,17,1)设计，G是D的一个区传递、点本原的自同构群.如果G不可解，则G的基柱Soc(G)不是Sz(q).

区传递；点本原；设计；基柱

1 引言

本文是分类群和区传递2-(v,k,1)设计课题的组成部分.一个2-(v,k,1)的设计D=(P,L)是由v个点的有限集合P（其中的元素称为点）和P的k-元子集B的集合L（其元素称为区组）所构成的关联结构，满足P中任何2-子集恰好包含在一个区组里.通常地，我们定义v=|P|和b=|L|.

设π是D的点集合P上的一个置换，如果把D的区仍变为D的区，则称π是D的一个自同构，D的全体自同构组成一个群，记为Aut(D).设G≤Aut(D)，如果G作用在D的区集合（点集合）上是传递的，则称G是区传递（点传递）的.如果G作用在D的区集合（点集合）上是本原的，则称G是区本原（点本原）的.我们也称点区对(α,B)（其中α∈B）为D的旗.如果G在D的旗集合上传递，则称G是旗传递的.若G是区传递的，则它也是点传递的，这是文献[1]的一个结果.

2-(v,3,1)设计的分类在30年前完成[2].在文献[3]中Camina和Siemons成功分类了具有区传递可解自同构群的2-(v,4,1)设计.李慧陵分类了具有区传递的不可解自同构群的2-(v,4,1)设计[4].童和李分类了具有区传递可解自同构群的2-(v,5,1)设计[5].韩和李[6]分类了具有区传递不可解自同构群的2-(v,5,1)设计.刘伟俊分类了具有区传递可解自同构群的2-(v,k,1)（其中k=7,8,9,10）[7].在文献[8]中韩和马分类了具有区传递典型群的自同构群的2-(v,11,1)设计.赵和代分类了具有区传递不可解自同构群的2-(v,11,1)设计[9].本文我们考虑具有区传递不可解自同构群的2-(v,17,1)设计并证明下面定理.

主要定理设D是一个2-(v,17,1)设计，G是D的一个区传递、点本原的自同构群.如果G不可解，则G的基柱Soc(G)不是Sz(q).

在本文中我们需要引进以下记号.设G是D的自同构群，B是D的一个区组，则GB表示保持B（作为集合）不动的G的子群，G(B)表示保持B的每个点不动的G的子群.因此，GB是GB在B上的诱导群，则

GB=GB/G(B).

第二部分我们描述关于Suzuki群Sz(q)和2-(v,k,1)设计的初等结果，第三部分给出定理的证明.

2 初等结果

Suzuki群Sz(q)形成李型单群的无限家族，在文献[10-11]定义为SL(4,q)的子群.Sz(q)的阶为q2(q2+1)(q-1)，其中q=22n+1，n≥1.设a=2n+1，t=2n，T=Sz(q).由文献[12]第XI章的定理3.10，T有阶分别为q+2t+1和q-2t+1的循环群U1和U2，则U1和U2是T的Hall子群.同样由文献[12]第XI章的引理3.1，T有子群F和H，其中F是阶为q2的2-群，H同构于GF(q)×，即GF(q)的乘法群.

对于2-(v,k,1)设计有两个重要的参数，即区组的个数b和过一个点的区组个数r.我们有bk=rv，bk(k-1)=v(v-1).这样r=(v-1)/(k-1).我们可以证明b≥v因而k≤r.如果k=r，则v=k2-k+1；如果r≤k+1，则v≥k2.

我们使用文献[13]中的方-李结果，定义参数：b1=(b,v)，b2=(b,v-1)，k1=(k,v)，k2=(k,v-1).

根据2-(v,k,1)设计的基本方程，我们得到方-李参数：k=k1k2，b=b1b2，r=b2k2，v=b1k1.

这些结果在本文中发挥重要作用.下面我们介绍本文用到的一些基本结果.

引理1[12]T的每个极大子群共轭于下列群之一：

（1）Sz(l)，其中li=2n+1，i是素数；（2）FH；（3）NG(H)；（4）NG(Ui)，i=1,2.

引理2[14]设T=Sz(q)是域GF(q)上例外李型单群，G满足T⊲G≤Aut(T).假设M是G的不包含T的极大子群，那么下列之一成立：

（1）|M|＜q2|G∶T|；（2）T⋂M是T的抛物子群.

引理3[15]设G=T∶x且区传递作用在2-(v,k,1)设计D=(P,L)上，则T传递的作用在P上.

引理4[16]设D是2-(v,k,1)设计，G是D的区传递、点本原但非旗传递自同构群，则

（1）v=272b2+1；（2）如果T=Soc(G)是偶数阶且G不可解，则|T|≤137|Tα||G∶T|.

3 定理的证明

当a=3时，|H0|=1或7，那么v-1=64或454.用同样的方法我们可以得到v-1的所有结果：v-1=64,454,1024,31774,16384,2080894,262144,1835014,19136584,133956094.

注意到v-1=272b2，即272|v-1，但上面v-1的所有值不满足这一条件，从而得到矛盾.

情形2：T⋂Gα是T的抛物子群

在引理1中检查Sz(q)的极大子群，可以看到Sz(q)的抛物子群同构于FH且|FH|=q2(q-1).因此我们有v=|T∶Tα|=q2.由引理4得到，q2=v-1=272b2，从而有272|q2，这显然是不可能的.因此，我们证明了本文的主要定理.

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[4]LiH L.On b lock-transitive 2-(v,4,1)designs[J].JCombin Theory Ser A,1995,69∶115-124.

由于高血压并发症多、治疗周期长，患者除了生活质量和生命年的损失外，还伴有沉重的疾病经济负担。我国抵御疾病经济风险的基本医疗保险已形成了由城镇职工基本医疗保险制度、城镇居民基本医疗保险制度和新型农村合作医疗制度构成的主干层。重庆市于2012年7月将后两者合并，称为“城乡居民合作医疗保险”，城乡居民参加该医疗保险不再以户籍划分，并按两个档次的个人缴费水平自主选择，政府按实际参保人数每人每年提供财政补助。在此医疗保险政策背景下，本文研究高血压(Hypertension, HTN)患者的疾病经济风险，讨论政策实施中存在的障碍和局限，并提出相应建议。

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The Suzuki Groups and Automorphisms of 2-(v,17,1)Designs

LI Shang-zhao1,LIAO Xiao-lian2,JIANG Li-yuan3
(1.School of Mathematics and Statistics, Changshu Institute of Technology, Changshu 215500, China;
2.Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi 417000, China;
3.School of Mathematics and Science, Soochow University, Suzhou 215006, China)

This paper is a contribution to the study of the automorphism groups of 2-(v,k,1)designs.Let D be a 2-(v,17,1)design and G be a block-transitive and point-primitive automorphism group of D.If G is non-solvable, then Soc(G),the socle of G,is not Sz(q).

block-transitive;point-primitive;design;socle

O152.1；O157.2

A

1008-2794（2014）04-0030-03

2013-12-26

李上钊，讲师，博士研究生，研究方向：有限群与代数组合，E-mail∶lszfd2004@163.com.