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分数阶微分包含反周期边值问题解的存在性

2014-03-28齐悦

关键词:不动点度量算子

齐悦

(淮安市高级职业技术学校,江苏淮安223300)

0 引言

分数阶微分方程起源于物理学、人口动力学和经济等研究领域,是人们理解现实世界数学模型的重要工具.因此,分数阶微分方程的研究受到数学工作者的广泛关注.

2012年,Cabada和Wang研究了带有反周期边值条件的分数阶微分方程[4]:

其中0<p<1<q<2,cDα是Caputo分数阶导数,f是一个连续函数.作者利用Guo-Krasnoselskii不动点定理,研究了带有积分边值的分数阶微分方程(1)的正解的存在性.

受文[4]的启发,在本文中,我们研究如下分数阶微分包含反周期边值问题:

其中0<p<1<q<2,cDα是Caputo分数阶导数,F:[0,T]×R→P(R)定义在[0,T]上的多值映射.P(R)表示R的所有非空子集.

本文的主要目的是将文[4]的结果扩展到多值情形.我们的结果包含非线性项是凸和非凸两种情形.利用不动点定理研究带有边值条件问题的分数阶微分包含问题(2)的解的存在性.

我们假设读者熟知分数阶微分方程理论和多值映射理论.为方便起见,给出证明主要结果所用的一些常规记号.

对于赋范空间(X,‖·‖),令

Pcp(X)={Y∈P(X):Y是紧的},Pcp,c(X)={Y∈P(X):Y是紧凸的},对于每个y∈C([0,T],R),定义F的选择集合为:

SF,y:={v∈L1([0,T],R):v(t)∈F(t,y(t))对于a.e.t∈[0,T]}

令(X,d)是由赋范空间(X,‖·‖)引进的度量空间.考虑Hd:P(X)×P(X)→R∪{∞}定义如下:

其中d(A,b)=infa∈Ad(a,b)且d(a,B)=infb∈Bd(a,b).显然,(Pb,cl(X),Hd)是度量空间并且(Pcl(X),Hd)是一个广义度量空间[4].

令F:[0,T]×R→P(R)是一个带有非空紧值的多值映射,定义与F有关的一个多值算子F:C([0,T]×R)→P(L1([0,T],R))如下:

下面给出4个引理,它们是证明结论的主要工具,在证明过程中起关键作用.

引理1[4](Kakutani映射的非线性选择定理)令E是Banach空间,C是E的一个闭凸子集.U是C的一个开子集,且0∈.若F:U→Pc,cv(C)是上半连续紧的映射,其中Pc,cv(C)表示的一族非空紧凸子集.则或者

(ii)存在一个u∈∂U及λ∈(0,1)使得u∈λF(u).

引理2[5]令X是一个Banach空间.设F:[0,T]×R→Pcp,c(X)是一个L1-Carathéodory multivalued映射且H是一个由L1([0,T],X)到C([0,T],X)线性连续映射,则算子

是C([0,T],X)×C([0,T],X)中的一个闭图算子.

引理3[6]令Y是一个可分的度量空间.设F:Y→P(L1([0,T],R))是一个多值算子,满足F是下半连续且有非空闭的可分解值.则F存在一个连续选择,即存在一个连续单值函数f:Y→L1([0,T],R)使得对于每个x∈Y有f(x)∈N(x).

引理4[7]令(X,d)是一个完备度量空间.若F:X→Pcl(X)是一个压缩映射,则不动点集F≠φ.

1 主要结果

列出本文的假设条件:

(A1)函数F:[0,T]×R→Pcl(R)是Carathéodory且存在非空紧凸值.

(A2)存在一个连续非减函数ψ:[0,∞)→(0,∞)和一个函数p∈L1([0,T],R+)使得

(A3)函数F:[0,T]×R→Pcl(R)是一个非空紧的多值映射使

(i)(t,y)|→F(t,y)is L⊗B,

(ii)y|→F(t,y)对于t∈[0,T]是下半连续的.

引理5[4]假设2<α≤3,0<p<1<q<2,g∈C([0,T],R),则以下问题

存在唯一解

为方便起见,记

定理1 假设(A1)~(A2)成立,若存在一个正数M>0使得

则问题(2)在[0,T]至少存在一个解.

证明定义算子T:C([0,T],R)→P(C[0,T],R)如下:

对于f∈SF,y,我们将证明算子T满足引理1的所有条件.我们将证明分为如下几步.

步骤1:对于每个y∈C([0,T],R)算子T是凸的.因为SF,y是凸的,易证.

步骤2:T映射C([0,T],R)中的有界集到有界集.

对于正数r,令Br={y∈C([0,T],R):‖y‖≤r}中的有界球,则对于h∈T(y),y∈Br,存在f∈SF,y,使得

并且有

因此,我们有

步骤3:T映射C([0,T],R)中的有界集到等度连续集.令t',t∈[0,T],且t'<t,y∈Br,其中Br是C([0,T],R)的一个有界集,对于h∈T(y),我们有

上式右端不等式当t→t'时趋于0,因此由Ascoli-Arzelá定理,T全连续.

步骤4:T存在一个闭图.令yn→y*,hn∈T(yn)且hn→h*.然后,我们需证明h*∈T(y*).对于hn∈T(yn),存在fn∈SF,yn,使得

接下来,需证明对于t∈[0,T]存在f*(s)∈SF,y,

考虑如下连续线性算子Φ:L1([0,T],R)→C([0,T],R)定义如下:

注意到

当n→∞.因此,由引理2,Φ◦SF是一个闭图算子.另外我们有hn(t)∈Φ(SF,yn).当yn→y*,我们有

对于某个f*∈SF,y*.

步骤5:存在一个开集U⊂C([0,T],R),y∈T(y)对于λ∈(0,1),x∈∂U令η∈(0,1),y∈ηT(y).则对于t∈[0,T]存在f∈L1([0,T],R),f∈SF,y使得对于t∈(0,1),我们有

类似步骤2的讨论,我们有

由(4),存在M使得‖y‖≠M.令

如下讨论,假设F是非凸情形.主要工具为Bressan and Colombo选择定理和带有可分解值的下半连续映射.

定理2 假设(A2)和(A3)成立,并且存在r>0使得式(4)成立,问题(2)至少存在一个解y.

证明由(A2)~(A3),F是下半连续型.由引理3,存在f∈C([0,T],R)→L1([0,T],R)使得f(y)∈F(y),对于所有的y∈C([0,T],R).考虑相应的问题

注意到,若y∈C3([0,T],R)是式(6)的一个解,则y是问题(2)的一个解.为了将问题(2)转化为一个不动点问题,我们定义算子T如下:

容易验证T是连续并且是全连续的.证明余下的步骤类似于定理1的证明,在此省略.

[1] Cabada A,Wang G T.Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integral bound-ary value conditions[J].J Math Anal Appl,2012,389:403-411.

[2] 刘洪洁,赵俊芳,耿凤杰,等.一类分数阶微分方程正解的存在性[J].数学的实践与认识,2012,42(2):241-248.

[3] 王永庆,刘立山.Banach空间中分数阶微分方程m点边值问题的正解[J].数学物理学报,2012,32(1):246-256.

[4] Granas A,Dugundji J.Fixed Point Theory[M].New York:Springer-Verlag,2005.

[5] Lasota A,Opial Z.An application of the Kakutani-ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations[J].Bull Acad Polon Sci Ser Sci Math Astronom phys,1965,13:781-786.

[6] Bressan A,Colombo G.Extensions and selections of maps with decomposable values[J].Studia Math,1988,90:69-86.

[7] Covitz H,Nadler J S B.Multivalued contraction mappings in generalized metric spaces[J].Israel J Math,1970,8:5-11.

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