宋 超，原菲菲 ，尚 姣，士子远

（1.河南省国土资源厅 信息中心，河南 郑州 450016；2.中国矿业大学（北京）地球科学与测绘工程学院，北京 100083）

1978年之前，我国普遍采用北京54坐标系统；之后，开始尝试新的西安80坐标系统[1,2]。北京54坐标系统采用的是克拉索夫斯基椭球体参数[3]，西安80坐标系统采用的是IAG-75地球椭球参数。虽然2个坐标系统选取的参考椭球模型不同，但2种地球椭球模型从本质上说是同源的，即二者均是在真实地球体的基础上抽象概括出来的。因此，通过几何空间直角坐标系统进行相应的转换是可行的。

1 坐标系统转换模型的选取

要实现北京54坐标数据向西安80坐标数据的转换，需严格遵循2种坐标系统参数间的数学映射逻辑[4,5]。在数据转换时，首先需创建或是选取一整套参数转换的数学模型。

Bursa-Wolf模型又称七参数转换模型[6-8]，包括7个转换参数[9,10]，即X平移、Y平移、Z平移、X旋转、Y旋转、Z旋转和尺度参数k。利用Bursa-Wolf转换模型进行坐标系统的转换，需用到上述模型转换参数，对于未知的转换参数，需预先求解。具体求解过程如下：

①获取研究地区3个或3个以上的已知北京54坐标系统的坐标，并构建未知坐标转换参数的数学方程组；②求解方程组中未知变量的最小二乘解；③将所求解的方程变量（即转换参数）和已知的转换参数引入到Bursa-Wolf模型中，对已知坐标点进行目标坐标系统转换，即可获取目标大地测量坐标（西安80坐标）系统下的对应坐标。

Bursa-Wolf坐标转换模型如下：

式中，X0、Y0、Z0分别指大地测量坐标系在x、y和z方向上的平移参数；εx、εy、εz分别是坐标系在 x、y、z方向上的旋转参数；X54、Y54、Z54是当前坐标点在北京54坐标系统中的坐标；X80、Y80、Z80是大地点在西安80坐标系中的坐标。矩阵模型的线性方程组表达式为：

上述线性方程组对应的矩阵方程表达式为AS=B：

求解转换模型中的待定参数矩阵B需要3个或是3个以上的原坐标系界址点（即图形要素的边界拐点）对应的北京54坐标及其对应的西安80真实坐标。

Bursa-Wolf坐标转换模型求取参数时采用最小二乘法，然而最小二乘法往往会涉及到矩阵的求逆运算。该求解方法不仅求解过程相当复杂，而且还会导致所求结果的数值不稳定[11]。

设有n个已知界址点对应的北京54坐标及对应的西安80坐标，则其误差方程的系数A为3n×7阶矩阵。利用QR矩阵分解法可将系数阵A分解为：

式中，Q为3n×3n的正则正交矩阵；R为3n×7的上三角矩阵。由于Q正交，QTQ =E，代入式(3)，得到QRS=B，进一步变形，得到QTQ RS=QTB，即

式中，S为转换参数矩阵。如此，矩阵方程RS = QTB无需通过矩阵求逆就可得到转换参数矩阵X的最小二乘解。

运用QR矩阵分解法进行转换参数（即矩阵参数）的求解，然后分别把所求的参数代入矩阵方程式AS=B，从而实现对目标坐标数据的统一转换。

模型转换参数一旦求解完成，即可引入Bursa-Wolf模型完成模型的构建；再将目标的北京54系数据输入模型转换工具主界面，即可完成北京54坐标系向西安80坐标系的平稳转换。

2 转换工具数据转换

以某地区实际测量点的大地测量坐标，选取3个样本点，输入转换参数计算界面，获取未知的坐标转换参数。样本点的北京54坐标系坐标和西安80坐标系坐标见表1。

表1 样本界址点坐标列表

通过本文设计的转换工具求解的七参数分别为：

表2 样本界址点坐标转换对比表

根据表2分别计算样本界址点在X轴、Y轴及Z轴方向上的转换差值均值及

然后，分别计算转换差值的样本方差Sx2、Sy2及Sz2：

显然，本转换工具转换的坐标值在X轴、Y轴及Z轴方向上的平均差值相对较小，转换精度较可靠。

5 结 语

根据Bursa-Wolf转换模型，结合面向对象的程序设计思想，研发大地测量数据的坐标系统转换工具，用于北京54坐标系数据向西安80坐标系的转换。利用矩阵QR分解法求解转换参数，既避免了常规的最小二乘求解方法可能导致的数值的不稳定性，也简化了求解过程，经检验该工具转换精度稳定、可靠。

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