陆卫杰

在学习椭圆简单几何性质的时候，大家都会学习到椭圆方程中的几何意义，它们分别表示了椭圆长轴，短轴的端点到椭圆中心的距离.但很少有人注意到这也是有关椭圆上动点的最值性质，它们表示了椭圆上动点到椭圆中心距离的最大值与最小值.从而，在解决有关椭圆上动点的最值问题时感到很困难.而如果我们在学习的时候能抓住这一性质的内涵，那么在解决有关椭圆上动点的最值问题时就显得游刃有余.

下面，我们就来看看常见的椭圆上动点的最值问题与这一性质的联系.

一、椭圆上的动点与平面内一定点距离的最值问题

题1 已知P是椭圆x24+y23=1上的任意一点，O是坐标原点，则PO的最大值是 ，最小值是 .

解析 由椭圆的简单几何性质易得：PO的最大值是2，最小值是3.

题2 已知P是椭圆x24+y23=1上的任意一点，A（1，0）是平面内一定点，求PA的最值.

解析 因为A是椭圆的右焦点，故当点P是椭圆的左顶点时，PA的最大值为3，当点P是椭圆的右顶点时，PA的最小值为1.

题2将坐标原点变成了焦点，还是可以由椭圆的简单几何性质易得PA的最值，那如果将这两类特殊的点变成了椭圆坐标轴上的任意点呢？

题3 已知P是椭圆x24+y23=1上的任意一点，A（14，0）是平面内一定点，求PA的最值.

解析 设P的坐标为（x，y），则x24+y23=1y2=3（1-x24），所以PA2=（x-14）2+y2=x2-12x+116+3（1-x24）=14x2-12x+4916=14（x-1）2+4516.因为-2≤x≤2，所以当x=-2时，PA取得最大值为94；当x=1时，PA取得最小值为354.

题3将特殊点变成了非特殊点，此时没有椭圆的几何性质可以使用，我们就应牢牢抓住P是椭圆上任意一点，而取得最值时的点P是椭圆上某个位置的点这一关系，先用坐标法表示出椭圆上任意的点到点A的距离，将此问题转化为函数的最值问题.

以上3题将椭圆简单几何性质中a，b的意义进行了简单的变迁，在变迁的过程中比较完美地体现出了数形结合的数学思想.如果我们能抓住这一变迁思想，那我们就能较为轻松地解决以下两类相关的最值问题.

二、椭圆上的动点到直线距离的最值问题

题4 已知P（x，y）是椭圆x24+y23=1上的任意一点，求P到直线l∶3x+4y=25的最值.

解析一 作与直线l平行的直线m∶3x+4y=t （t≠25），

由3x+4y=t，

x24+y23=1消去y得21x2-6tx+t2-48=0.

由Δ=36t2-84（t2-48）=0得t=±221，直线m与直线l的距离是25±2215.所以P到直线l：3x+4y=25距离的最大值是25+2215，最小值是25-2215.

解析二 令x=2cosθ，y=3sinθ，θ∈R，

则P到直线l：3x+4y=25的距离

d=|6cosθ+43sinθ-25|5=|221sin（θ+α）-25|5

=25-221sin（θ+α）5 （其中sinα=321，cosα=2321）.

所以d的最大值为25+2215，最小值为25-2215.

因此P到直线l：3x+4y=25的最大值是25+2215，

P到直线l：3x+4y=25的最小值是25-2215.

题4将椭圆上动点到定点的距离最值问题转变为了椭圆上的动点到定直线的距离最值问题.解析一从几何法（把点到直线的距离转化成两平行线间的距离），解析二从代数法（三角换元）两个不同的角度进行了分析与求解.

题5 已知P（x，y）是椭圆x24+y23=1上的任意一点，求3x+4y的最值.

解析一 令3x+4y=t，由3x+4y=t，

x24+y23=1消去y得：21x2-6tx+t2-48=0，Δ=36t2-84（t2-48）=0，得t=±221，所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.

解析二 令x=2cosθ，y=3sinθ，θ∈R，则3x+4y=6cosθ+43sinθ=221sin（θ+α）（其中sinα=321，cosα=2321）.所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.

此题是题4的变迁，是将题4中的定直线进一步变迁为动直线.

题6 已知P（x，y）是椭圆x24+y23=1上的任意一点，求yx+6的最值.

解析 yx+6的几何意义是椭圆x24+y23=1上的点P与定点（-6，0）连线的斜率.故本题求的是过定点（-6，0）且与椭圆x24+y23=1有公共点的直线斜率的最值.由题意可得，直线的斜率一定存在，设过定点（-6，0）且与椭圆x24+y23=1有公共点的直线方程为y=k（x+6）（k∈R），由y=k（x+6），

x24+y23=1消去y得（3+4k2）x2+48k2x+144k2-12=0.，Δ=（48k2）2-4（3+4k2）（144k2-12）≥0 得-68≤k≤68.所以，yx+6的最大值为68，最小值为-68.

此题是题5的一种变迁，将题5中定斜率的动直线变成了过定点的动直线.

三、椭圆上的动点到定点与焦点的距离问题

题7 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，2）是平面内一定点，求PA+PF1的最小值.

解析 因为14+43>1，所以，点A在椭圆外.连结F1A，F1A与椭圆的交点即是所求的P点.因此，PA+PF1的最小值为F1A=（1+1）2+22=22.

题8 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，1）是平面内一定点，求PA+PF1的最值.

解析 因为14+43<1，所以，点A在椭圆内.此时PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因为-AF2≤PA-PF2≤AF2，连结F2A，AF2的延长线与椭圆的交点即是PA+PF1取最大值时的P点.F2A的延长线与椭圆的交点即是PA+PF1取最小值时的P点.又因为AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

题7与题8两题看似无差别，但我们发现两题的解析截然不同，题8利用了椭圆的定义将，PF1转化成了PF2.所以，在解决椭圆上的动点到定点的距离与焦点距离之和的最小值问题时，首先要判断点与椭圆的位置关系. 题9 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，1）是平面内一定点，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于椭圆的左准线x=-4，垂足为D.则PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故当A，P，D三点共线时PA+2PD取最小值.作AH垂直于椭圆的左准线x=-4，垂足为H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值为5.

题9将椭圆上的动点到焦点的距离前添加了一个特殊的系数（离心率的倒数），巧用圆锥曲线的统一定义进行转化.

通过以上的三类有关椭圆上动点的最值问题，我们不难发现这些都是从椭圆的几何性质出发，通过点与线，定量与不定量之间的相互转化，逐步演变出了三类最值问题.如果我们抓住了几何性质的内在含义并学会变化，那么我们就能轻松解决有关椭圆上动点的最值问题.

当然，我们在掌握了如何求解有关椭圆上动点的最值问题的同时，如能熟练地利用椭圆的这一几何性质求解其余的问题，那么，我们对性质的理解就能更上一层楼.最后，用一例来说明熟练利用性质解题的重要性.

题10 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点，P是椭圆上的一点且满足PF1PF2=e，则椭圆的离心率的取值范围是 .

解析 因为PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因为a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因为0

题8 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，1）是平面内一定点，求PA+PF1的最值.

解析 因为14+43<1，所以，点A在椭圆内.此时PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因为-AF2≤PA-PF2≤AF2，连结F2A，AF2的延长线与椭圆的交点即是PA+PF1取最大值时的P点.F2A的延长线与椭圆的交点即是PA+PF1取最小值时的P点.又因为AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

题7与题8两题看似无差别，但我们发现两题的解析截然不同，题8利用了椭圆的定义将，PF1转化成了PF2.所以，在解决椭圆上的动点到定点的距离与焦点距离之和的最小值问题时，首先要判断点与椭圆的位置关系. 题9 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，1）是平面内一定点，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于椭圆的左准线x=-4，垂足为D.则PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故当A，P，D三点共线时PA+2PD取最小值.作AH垂直于椭圆的左准线x=-4，垂足为H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值为5.

题9将椭圆上的动点到焦点的距离前添加了一个特殊的系数（离心率的倒数），巧用圆锥曲线的统一定义进行转化.

通过以上的三类有关椭圆上动点的最值问题，我们不难发现这些都是从椭圆的几何性质出发，通过点与线，定量与不定量之间的相互转化，逐步演变出了三类最值问题.如果我们抓住了几何性质的内在含义并学会变化，那么我们就能轻松解决有关椭圆上动点的最值问题.

当然，我们在掌握了如何求解有关椭圆上动点的最值问题的同时，如能熟练地利用椭圆的这一几何性质求解其余的问题，那么，我们对性质的理解就能更上一层楼.最后，用一例来说明熟练利用性质解题的重要性.

题10 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点，P是椭圆上的一点且满足PF1PF2=e，则椭圆的离心率的取值范围是 .

解析 因为PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因为a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因为0

题8 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，1）是平面内一定点，求PA+PF1的最值.

解析 因为14+43<1，所以，点A在椭圆内.此时PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因为-AF2≤PA-PF2≤AF2，连结F2A，AF2的延长线与椭圆的交点即是PA+PF1取最大值时的P点.F2A的延长线与椭圆的交点即是PA+PF1取最小值时的P点.又因为AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

题7与题8两题看似无差别，但我们发现两题的解析截然不同，题8利用了椭圆的定义将，PF1转化成了PF2.所以，在解决椭圆上的动点到定点的距离与焦点距离之和的最小值问题时，首先要判断点与椭圆的位置关系. 题9 已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，A（1，1）是平面内一定点，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于椭圆的左准线x=-4，垂足为D.则PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故当A，P，D三点共线时PA+2PD取最小值.作AH垂直于椭圆的左准线x=-4，垂足为H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值为5.

题9将椭圆上的动点到焦点的距离前添加了一个特殊的系数（离心率的倒数），巧用圆锥曲线的统一定义进行转化.

通过以上的三类有关椭圆上动点的最值问题，我们不难发现这些都是从椭圆的几何性质出发，通过点与线，定量与不定量之间的相互转化，逐步演变出了三类最值问题.如果我们抓住了几何性质的内在含义并学会变化，那么我们就能轻松解决有关椭圆上动点的最值问题.

当然，我们在掌握了如何求解有关椭圆上动点的最值问题的同时，如能熟练地利用椭圆的这一几何性质求解其余的问题，那么，我们对性质的理解就能更上一层楼.最后，用一例来说明熟练利用性质解题的重要性.

题10 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点，P是椭圆上的一点且满足PF1PF2=e，则椭圆的离心率的取值范围是 .

解析 因为PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因为a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因为0