尚 彧，张 燕

(辽宁石油化工大学 计算机与通信工程学院，辽宁 抚顺113001)

曲线拟合是一种用于对多维度数据进行处理和显示的方法，广泛的应用于计算机辅助设计、实验分析以及图形图像显示等方面。和大部分拟合课题一样，曲线或曲面拟合课题的核心在于选择目标函数，目标函数的好坏直接决定到曲线或曲面参数的准确性、结果的精确度和计算过程的复杂度[1]。

曲线拟合的信息点在采集过程中有着随机性和模糊性等特点。云理论拥有综合分析随机性、模糊性以及相互间关联性的优点。本文以云理论特点的基础上，提出了一种优化的曲线拟合方法，即基于云理论曲线拟合。

1 云理论介绍

1.1 基本概念

云是使用语言值来表示某个定性概念与其定量表示之间的不确定性转换理论模型。它主要用于反映客观世界中事物或人类知识中概念的两种不确定性因素：随机性、模糊性，并将二者有效的集成在一起，构成定性和定量的映射。在数域空间中，云是一朵可伸缩、无边沿、有弹性、近视无边、远观象云的一对多的数学映射图象，与自然现象中的云有着相似的不确定性质，所以借用“云”来命名这个理论[2]。

设U是一个用精确数值表示的定量论域，X⊆U，T是U空间上的定性概念，若元素x(x⊆X)对T的隶属的确定度：CT(x)∈[0，1]是一有稳定倾向的随机数，则概念T从论域U到区间[0，1]的映射在数域空间的分布，称为云(cloud)。

云理论主要研究自然语言中的最基本的语言值所蕴含的不确定性的普遍规律，使得有可能从语言值表达定性信息中获得定量数据的范围和分布规律，也有可能把精确数值有效转换为恰当的定性语言值，从而将随机性和模糊性有效的集成起来。

1.2 云的数学特征

云的数学特征是对定性概念的定量特性进行的表征，它云模型、虚拟云、云运算和云转换的数值依据，主要由期望（Ex）、熵（En）和超熵（He）组成[3]。

1)期望（Ex）是某个定性概念在论域中的中心值，代表了该概念在数域空间中的点值，一般用是云中心对应的x值来表征。

2)熵（En）在云模型中用于定性概念的模糊度和概率进行综合表征，对随机性和模糊性以及之间的关联性进行定义。

3)超熵（He）是熵的不确定度量，也称为熵的熵，用于表征在数域空间代表该语言值的所有点的不确定度的凝聚性，即云滴的凝聚度。超熵的数值也间接地表征了云的离散程度和厚度，例如超熵的值越大，则云滴的离散度越大，云的“厚度”也越大。

使用上述3个特征数值就可以对云进行描述，把定性概念的模糊性和随机性有机地结合在一起，从而实现了定性语言值与定量数值之间的有效转换。

2 云模型简介

2.1 云模型

云模型是进行定性语言值与定量数值之间转换的基础和模型，也是云理论的核心。云模型的单位是基云，与之对应的是自然语言中的基本单位语言原子。云模型能够研究自然语言中的语言原子中所包含的不确定性的普遍规律，从而获得定性信息中获定量数据的范围和分布规律，并进一步把精确数值转换为定性语言值。云模型具有宏观精确可控，微观模糊不可控的特点，其本质是云滴组成的概念云。云模型的这些优点不但克服了概率统计论及粗集论的不足、解决了作为模糊集理论基石的隶属函数的不彻底性，同时有效地反映语言值中蕴涵的模糊性和随机性，为解决空间数据挖掘中的不确定性问题提供了可靠方法[4]。

2.2 正态云模型

1）正态云模型

正态云模型一种基础的云模型，它是一种用于有效表征语言原子的工具[5]。很大一部分社会和自然科学中定性知识的云的期望曲线都近似服从正态或半正态分布。从论域空间来看，正态云模型的某一点的分布规律符合统计学意义上的正态分布规律，由期望和熵的值能够确定具有正态分布规律的云期望曲线方程

正态云模型分为完整云、左半云和右半云3种。完整云用于表征具有双侧特征的定性概念，半云模型用于表征具有单侧特征的定性概念，如图1所示。

图1 正态云图Fig.1 Diagram of normal clouds

正态云的生成算法如下：

①Xi=G(Ex，En)，得到期望值 Ex，标准差 En的正态随机数Xi；

②Eni=G(En，He)，得到期望值 Ex，标准差 He的正态随机数Eni；

通过该算法可以得到由无数个云滴组成的具有不均匀厚度的正态云，由于云的腰部、顶部、底部等并不需要明确的定义，使用期望（E x）、熵（E n）和超熵（H e）就能够很好的描述云。

2）云模型的3En规则

在论域空间中，X轴上任一区间上的元素△x对定性概念T的贡献度计算出论域空间中所有元素对概念T的总贡献度因为所以论域空间中的定性概念T有贡献的定量值主要分布在区间[Ex.3En，Ex+3En]。在设计基于云模型的算法和发生器时应该以3En区间为重点，位于3En区间之外的云滴元素为小概率事件，可以忽略不计[6]。

2.3 云发生器

1）正向云发生器

正向云发生器是从定性到定量的确定性映射转换模型，如图2所示。它根据云的3个数字特征来得到云滴，并由云滴组成云。正向云发生器实现了从语言值表达的定性信息中获得定量数据的范围和分布规律，是一个前向的、直接的过程，其输入为表示定性概念的期望值Ex、熵En和超熵He，云滴数量N，输出是N个云滴在数域空间的定量位置及每个云滴代表该概念的确定度。

图2 正向云发生器图Fig.2 Diagram of forward cloud generator

2）逆向云发生器

逆向云发生器是是从定性到定量的不确定性映射转换模型，如图3所示。它将一定数量的精确数据有效转换为以恰当的定性语言值{Ex，En，He}表示的概念，并据此代表这些精确数据所反映的云滴的整体。云滴对应的精确数据的数量越多，反映的概念越确切。

图3 逆向云发生器图Fig.3 Diagram of backward cloud generator

逆向云发生器的传统算法是基于数理统计规律的样本均值和样本方差的均值法。输入的是N个云滴在数域空间的精确位置和每个云滴代表该概念的确定度，输出的是这N个云滴表示的定性概念的期望Ex，熵En和超熵He。

3 云转换简介

3.1 云转换

云转换是一种用于将定量数据转换为定性概念的方法，其主要思想是从连续的数值区间到离散的概念的转换。假设论域空间上某个数值X的频率为f(x)，根据X的频率的分布情况生成若干个粒度不同的云C(Exi,Eni,Hei)的叠加，每个云代表一个离散的、定性的概念。其数学表达式为ai*C(Exi,Eni,Hei)，ai为幅度系数，n为变换后所生成的离散概念的个数。

云转换的核心思想是利用云模型对空间数据分布的概率密度函数进行拟合，它是在论域空间中将定量描述转换为定性描述的过程，也是一个概念归纳学习的最优化过程，曲线分布函数可以由分布情况生成若干个不同粒度的云，将得到的这些云进行叠加就可以对曲线进行拟合。

3.2 基于云理论的曲线拟合算法

1）对分布的数据点进行统计，得到分布曲线f[i]；

2）查找数据点中峰值的位置，将峰值定义为云的中心点(期望)Ex[i](i=0,...,m-1)，然后计算用于拟合数据点的以Ex[i]为期望的云模型的熵Eni,得到云模型的数据分布函数fi(x)；

3）在数据点f[i]中减去已知云模型的数据分布fi(x)，得到新的数据分布 f’[i]；

4）重复步骤2)和步骤3),得到多个基于云的数据分布函数 fi(x)；

3.3 对曲线拟合方程的优化

1）确定峰值X的Ex；

2）在Ex左右两边随机的各取n个点。以Ex的值为中心在区间(Ex-n，Ex)中找到第一个波谷的值和第一个波峰的值，并计算两者之间的差是否大于设定的阈值P，如大于P则将其值记为x1，若小于P则继续寻找下一个波峰的值，直至满足条件为止，同理在波峰的右边找到x2，比较Ex-x1与x2-Ex的大小，取两者中的较小值，这里设为Ex-x1；

3）将区间[Ex-fabs(Ex-x1)，Ex+fabs(Ex-x1)]中的数据点作为云滴，利用无确定性信息的逆向云发生器来得到En的初始值；

4）通过比较波峰左右两边的误差值M1和M2来优化En值，如果M1和M2的绝对值都小于P，则En不需要优化；如果误差绝对值的最大值所对应的误差值在两边都为正，则将En减去0.01；如果误差绝对值的最大值所对应的误差值在两边都为负时，则将En加上0.01；如果一边的最大误差绝对值小于P，而另外一边的最大误差绝对值大于P，并且所对应的误差值为正时，让En减去0.01。

4 实验与分析

通过上述介绍的曲线拟合方法及优化En的方法，可以得到很好的曲线拟合效果，如图4所示。

为了验证优化方法的有效性，我们对En的优化进行了实验并取得了很好的效果，如图5～图7所示。

5 结论

曲线拟合在图形图像处理、多媒体技术等领域具有广泛的应用。文中设计了一种基于云理论的曲线拟合优化方法，以云模型为基础，详细论述了把离散的数据点转换为若干个云曲线并叠加进行曲线拟合的关键技术，并说明了对En的优化来提高结果的精度的算法过程。通过实验表明，该优化方法是是实现曲线拟合的实用工具。将该方法进行软件化是下一步的研究方向。

图4 优化后的曲线拟合图Fig.4 Optimized diagram of curve fitting

图5 实验一：误差值在两边都为正Fig.5 Diagram of experiment 1

图6 实验二：误差值在两边都为负Fig.5 Diagram of experiment 2

图7 实验三：误差值在两边一整一负Fig.5 Diagram of experiment 3

[1]ZHANG Chun-ying,PAN Rong-jiang.Fitting open B-spline curve to planar point clouds based on principal curve[C].CSIAM Geometric Design&Computing,2007:165-169.

[2]张军平,王珏.主曲线研究综述[J].计算机学报.2003,26(2):129-146.ZHANG Jun-Ping,WANG Jue.An overview of principal curves[J].Chinese Journal of Computers,2003,2(26):129-146.

[3]陈天华,数字图像处理[M].北京:清华大学出版社,2007.

[4]龚声蓉,刘纯平,王强.数字图像处理与分析[M].北京:清华大学出版社,2006.

[5]李德毅,刘常昱.论正态云模型的普适性[J].中国工程科学,2004,6(8):28-34.LI De-yi,LIU Chang-yu.Study on the Universality of the NormalCloud Model[J].Engineering Science,2004,8(6):28-34.

[6]刘丹.计算机图像处理的数学和算法基础[M].北京:国防工业出版社,2005.