耿金辉，李志民

（安徽工程大学数理学院，安徽芜湖 241000）

保费再投资下双Cox风险模型的破产概率

耿金辉，李志民

（安徽工程大学数理学院，安徽芜湖 241000）

基于经典的风险模型，考虑了对于保费进行稳健投资的情况，引入了将保费进行再投资情况下的双Cox风险模型，利用鞅方法研究了破产概率问题，得到了该模型的破产概率的Lundberg不等式，并对Lundberg不等式进行了推广。

Cox过程；破产概率；Lundberg不等式；鞅

关于古典风险模型［1］的推广——Cox风险模型，最早是由Tomas Björk和Jan Grandell提出来的。TomasBjörk和Jan Grandell［2］定义了Cox过程，建立了Cox风险模型，运用鞅方法推导出了破产概率Lundberg不等式。将利率引入到经典风险模型中的文章可以参考文献［3－5］，其中Cai［3－5］在经典风险模型中分别考虑了常利率和随机利率情形，并都得出了破产概率的表达式。但是这些模型中都只考虑了单险种的经营，对于保险公司经营规模的不断扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，已存在很大的局限性。

文献［6－7］分别研究了双Cox风险模型的破产概率。其中文献［6］将经典风险模型推广为带干扰的双Cox风险模型，使该模型更符合现实情况，然后利用鞅论的知识对其进行研究，得到了该模型的破产概率的Lundbreg指数上界。文献［7］将Cox风险模型作为经典风险模型的一个推广，在保费的到达和理赔的发生都服从Cox过程的假定下，得到了破产概率的上界。并在假设保单的到达和理赔的发生具有相同的累积强度过程时，给出了破产概率的明确表达式。

本文是基于文献［1］和文献［3－7］，将利率引入双Cox风险模型，推广了Cox风险模型，探讨了保费再投资下的双Cox风险模型的破产概率，利用鞅方法推导出了破产概率的Lundberg不等式，并对Lundberg不等式进行了推广，具有一定的理论意义。

1 模型的建立

设（Ω，F，p）为一个完备的概率空间，本文中的随机变量都是定义在概率空间上的，对于随机过程｛Λ（t），t≥0｝，若其以概率1满足下列三个条件：

（1）Λ（0）＝0

（2）∀t＜＋∞，Λ（t）＜＋∞

（3）Λ（t）的现实是t的单调不减的连续函数

则称Λ是一个扩散的随机测度。本文接下来的讨论都是假设随机测度Λ是扩散的，且当t→＋∞时，Λ（t）→＋∞以概率1成立。

有了以上基本概念，我们根据Cox风险模型［1］建立保费再投资下的双Cox风险模型为：

2 破产概率的Lundberg不等式

这里的定义是为了取得理想的上界，调节系数r应取得最大值。在古典风险模型中，C（r）在R处是间断的，即当r≤R时，C（r）＝1，而当r＞R时，C

［1］Jan Grandell.Aspects of Risk Theory［M］.New York：Spring－verlag，1991.

［2］Tomas Björk，Jan Grandell.Exponential inequalities for ruin probabilities in the Cox case［J］.Scand.Actuarial J.，1988（1－2）：77－111.

［3］Cai Jand Dickson D CM.On the expected discounted penalty function at ruin of a surplus process with interest［J］. Insurance：Mathematics and Economics，2002，30（3）：389－404.

［4］Cai J and Dickson D C M.Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the sparre andersenmodel with interest［J］. Insurance：Mathematics and Economics，2003，32（1）：61－71.

［5］Cai J.Ruin probabilities and penalty functions with stochastic rates of interest［J］.Stochastic Processes and Their Applications，2004，112（1）：53－78.

［6］杨圣举，李学堃，李文玲.双Cox风险模型中破产概率的上界［J］.南开大学学报（自然科学版），2009，42（1）：34－39.

［7］何树红，徐兴富.双Cox风险模型［J］.云南大学学报（自然科学版），2004，26（4）：275－278.

［责任编辑 毕 伟］

Ruin Probability of Prem ium Reinvestment in Double Cox Risk M odel

GENG Jin-hui，LIZhi-min
（School of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Based on the classical risk model，considering the premium for sound investment situation，premiums reinvestmentwill be introduced in the double Cox risk model，study ruin probability problems by using the martingale method，get the Lundberg inequality of the ruin probability of themodel，and then generalize the Lundberg inequality.

Cox process；ruin probability；lundberg inequality；martingale

O211.67

A

1004－602X（2014）04－0001－03

10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.04.001

2014-10-08

安徽省高校省级自然科学研究重点项目（KJ2013A044）

耿金辉（1988—），男，安徽定远人，安徽工程大学在读硕士研究生。