张大元，雷虎民，李海宁，邵 雷，李 炯

(空军工程大学防空反导学院，西安 710051)

0 引言

复合制导体制是中远程防空导弹最为常用的制导体制，可提高武器系统跟踪和射击的目标数，从而改善导弹性能［1－2］。复合制导的关键技术之一是中末交接班技术，在中末交接段最为重要的是导引头截获。因此，导引头截获目标概率是复合制导导弹设计的重要指标，一般采用蒙特卡罗方法进行仿真研究和计算［3－5］，但这种方法需要进行多次弹道仿真计算;文献［5］研究了中远程空空导弹在一次弹道计算中完成目标截获概率计算的方法，其主要思想就是将各种误差转换到对目标指示的误差上，从而利用各误差服从的概率分布，实现目标截获概率计算。借鉴文献［5］的研究思路，首先研究了主要误差源影响目标截获概率的作用机理，并对其进行了分类，利用等效转化的思想，将所有的误差统一到导弹位置散布和偏差上来。在此基础上，提出一种计算导引头开机截获概率的新方法，推导了计算导引头开机截获概率的计算公式。

1 误差分析和转化

在复合制导中制导段，导弹一般向着预测命中点飞行，当弹目距离小于导引头开机距离时，导引头开机进行距离捕获，若此时目标位于导引头视野范围内，且导引头接收的反射信号足够强，导引头完成角度捕获，然后经过频率搜索，实现速度捕获后，就实现了目标捕获。其中，距离和速度捕获较为容易，角度捕获是最难完成的，因为各种噪声和误差会引起导弹位置偏离和目标指示误差。在本文研究中，认为只要角度实现捕获，其他两项就能完成捕获。下面分析影响导引头开机截获概率的主要误差源和作用机理。

1.1 影响目标截获概率的误差源

影响截获概率的主要误差源有［5］:

(1)发射前主惯导对弹上惯导装订误差;

(2)加速度计测量误差;

(3)陀螺仪测量误差;

(4)雷达测量误差(测角、测距误差);

(5)目标机动引起的误差。

其中，前3项误差会引起导弹位置散布角σm(以地面制导站为基准)，雷达测量误差会引起导引头指向散布角σs，目标机动则引起导引头指向偏差角γs，根据上述误差的作用机理，可将误差引起的效果做如下分类:

其中，各散布角服从均值为零的正态分布，各误差的定义和作用效果的几何示意如图1和图2所示。

图1 弹位置散布角和导引头指向散布角Fig.1 Spread angle of missile position and homer oriented direction

此外，导引头视场角E使得导弹存在一个允许散布范围，如图3所示，是以C点为圆心，以E为锥角的圆锥截面SL。

1.2 误差转换原理

图3给出了实现角度捕获的条件及误差转化原理，建模将多次用到该原理。

图2 目标机动引起的偏差Fig.2 Deviation caused by target maneuver

图3 角度捕获的几何关系及等效转化Fig.3 Geometric relationship of angle acquisition and the equivalent method

由图3右下角小图可知，在导引头开机时刻，只有当目标落入以导引头C为顶点、以E为锥角(半波束宽度)的天线波束内时，才能完成角度捕获;当基准点选为目标B时，等价于导弹(导引头)位于以目标B为顶点、锥角为E的范围内，才能实现角度捕获。导弹位置一般是以地面制导站为测量基准的。因此，希望将导弹能够截获目标的空间分布区域SL用以地面制导站O为顶点、以E′为锥角的锥体截面表示。

由图3可知，以O点为顶点、E′为锥角的锥体与以B为顶点、E为锥角的锥体相交形成椭圆面SC。O点对面积SC的夹角相当于导弹位置的散布角E′，

过两锥体其中一个交点d作各自锥体的圆截面SM和SL，则SL与SM的夹角为导弹前置角θML，设椭圆平面SC与SL和SM的夹角分别为 θL、θM，则

式(1)之所以使用约等号是因为椭圆面对两个圆面的投影并不是正投影，而是存在一定角度偏差。由式(1)得

其中:

因此

由于E和E′均属于小量，因此

这样，就将导引头视线角引起的导弹允许位置散布，等效转化为以地面制导站为基准的导弹位置散布角。

1.3 误差转换计算

下面将各误差统一转换成导弹位置散布角或偏差角，从而建立导引头开机截获概率计算模型。

根据1.1节对5个误差源作用机理的分析可知，前3项误差的作用引起导弹位置散布角，所以无需转化，这是本文与参考文献［5］区别的一个重要方面，这样减少了误差转换次数，降低了误差转换带来的新误差。

(1)雷达测量误差引起导引头指向散布角σs转换为导弹等效位置散布角σs'

利用1.2节给出的等效转换原理，可将σs转换为导弹等效位置散布角σs':

(2)目标机动引起的导引头指向偏差

在导弹对目标的某次拦截过程中，目标机动是确定的，引起的偏差值也是确定的，所以目标机动引起导弹位置散布的系统偏差值，即等效位置偏差角 ，转化过程如图4所示。

图4 等效偏差角求解Fig.4 Solver of Equivalent deflection angle

图4中，BC和B′C′是平行的，原因如下:BC方向是导弹飞行到预定交接点时预定的导引头指向，但目标实际位置处在B′点。因此，为使导引头按照预定指向截获目标，导弹应位于过 B′点的BC方向相距RL处，即 C′点，也即 BC∥B′C′。根据 1.2 节给出的等效转换原理:

2 导引头开机截获概率计算模型

2.1 导引头开机截获概率模型推导

经过上述等效变换，影响目标截获概率的主要因素就转换为导弹位置散布角和偏差角。

交接时，导弹预定位置为C点;发射前，主惯导对弹上惯导装订误差、加速度计测量误差、陀螺仪测量误差以及雷达测量误差引起的导引头指向散布角一起引起导弹相对预定位置的散布角，其大小为

假定导弹位于Sb时能够捕获目标，则Sb由导引头视野角确定，其等效的导弹允许散布角为E′;目标机动引起的导引头指向偏差γs引起的导弹等效位置偏差为γ′s，该偏差值决定能够捕获目标的导弹位置中心 C′。

Sa和Sb如图5所示。

图5 导引头开机截获概率计算Fig.5 Solver of the probability of target acquisition

根据目标角度截获定义，当导弹能够截获目标时应位于Sb中，而实际上导弹位置应位于Sa中，Sa与Sb公共面积内进行概率积分，就得到导引头开机截获概率(TAP)估算值，即导引头开机截获概率的计算模型。

上述过程中，对导弹散布区域进行了近似处理。由图3可知，由于导弹前置角θML的存在(若θML=0，则A点和B点重合，2个锥体中心线在一条直线上，交面为圆形)，使得椭圆面SC长短轴之比为:

在导弹前置角θML＜30°时，该椭圆和以椭圆短轴为半径的圆形面积之比为因此，可将椭圆近似等价为圆形。式(8)中的圆面积Sa和Sb就是两个锥体相交椭圆面积的近似假设。

2．2 计算模型的简化

由以上分析可知，要求出导引头开机截获概率，需要求解Sa与Sb相交面积上的概率密度积分值，这是较困难的。因此，本节使用一种近似的方法进行简化。

因Sa和Sb平面夹角较小，可近似认为两平面共面，如图6所示，用等面积的正方形近似代替2个圆面，2个正方形相应边平行，且一边平行于两圆心连线，另一边垂直于圆心连线，这样可将导弹位置分布转换为两个独立的一维分布。设Sa圆面半径为ra，Sb圆面半径为rE，则

图6 导引头开机截获概率的简化计算Fig．6 Simple solver of the probability of target acquisition

图6中:

以Sb圆心为原点，则导弹飞行轨迹分布服从均值为d，均方差为ra的正态分布，用Φ表示标准正态分布的分布函数，则

则导弹落入Sb等价正方形的概率(导引头开机截获概率)，可表示为

其物理意义如下:

图6中使用等面积正方形替代圆形区域时，导弹位置在垂直于2个圆心连线的方向(不一定是Y方向，如图6中的下图)散布服从均值为零、均方差为ra的正态分布，在该方向导弹位置分量位于(－lE/2，lE/2)(导引头等效视场内)概率为

导弹在平行于两个圆心连线的方向(不一定是X方向)散布服从均值为d、均方差为ra的正态分布，X坐标位于(－lE，lE)的概率为

导弹位置两个分量处于捕获区域的事件相互独立，则概率等于两者乘积，即式(14)。

3 简化计算模型的应用

由上面的分析可知，为计算导引头开机截获概率，需对主要的5种误差源进行估计。

3．1误差估计

(1)惯导系统初始对准引起的导弹位置散布角

惯导初始基准角是指发射时刻惯导的初始角度基准，分为方位和俯仰角。防空导弹武器系统一般具有较高的机动性，发射具有快速性。因此，方位初始基准常使用发射车上自带的寻北仪测量，存在寻北仪测量误差、安装误差和发射车到导弹的传递误差，精度较低。文献［7］指出，该值可按30′(3σ)估算，假定导弹基本按直线飞行，方位初始基准误差引起的导弹方位方向误差均方差为

俯仰初始基准角在发射前用加速度计进行校准，精度较高，可按3′(3σ)算，引起的俯仰方向误差均方差为

为简化计算，取二者较大值［8］，即方位偏差为初始装订误差引起的导弹位置误差均方差，即

(2)惯性器件误差引起的导弹位置散布角

［5］，惯性测量器件误差服从零均值正态分布，且互不相关，设加速度计零位偏差为σa0，刻度因子误差为σak，整个飞行过程中，导弹的平均过载为a－

y、a－

z，导弹交接时，飞行时间为tf，则加速度计引起的导弹位置测量误差均方差为

为简化计算，取二者较大值作为加速度计测量误差引起的导弹位置散布角均方差为

设陀螺随机漂移误差为σsp，刻度因子误差为σsk，导弹的角速度为ω，根据参考文献［7］给出则陀螺测量误差引起的导弹位置散布角均方差值为

这样，由初始装订误差和惯性元件测量误差造成的导弹位置测量误差均方差σm为

(3)雷达测量误差引起的导引头指向散布角

设雷达测距误差为 σΔR(1σ)，测角误差为σr(1σ)，则目标测量偏差rmax按式(22)计算:

上式符号含义和计算原理如图7所示。

图7 雷达测量误差引起的导引头指向误差Fig.7 Homer oriented direction error caused by radar error

假设导弹在开机时，导引头指向与最大偏差|TT′|或|TT′2|方向平均夹角为45°，则目标测量误差导引头指向的角偏差的均方差值约为

(4)目标机动引起的导引头指向偏差

在计算导引头开机截获概率时，目标机动引起的导引头指向偏差角可按式(24)近似计算:

其中，Δt表示中制导目标数据更新周期(数据链数据更新周期)，aH表示垂直于雷达目标连线平面内的目标总加速度值。该式可直接由几何关系推得。

(5)导引头作用距离RL、视场角E

导引头作用距离与目标截面积、工作波长等因素有关［9］。导引头视场角(即天线半功率波瓣宽度2θ0.5)取决于许多因素，减小视场角可增大作用距离、提高角灵敏度和角分辨率，增强抗干扰能力，但对导引头尺寸和捕获大机动目标不利，雷达导引头最佳视场角范围约为［9］

(6)导引头开机时刻导弹飞行距离RM、导弹前置角θML

这2个量在导引头开机时刻动态确定。

3.2 计算模型的使用

前面推导了简化计算模型和主要误差源的计算方法，这样就可在弹道计算过程中进行截获概率的计算了。计算步骤如下:

步骤1:设定导引头参数RL、E，计算预测遭遇点A;

步骤2:在导弹飞行仿真过程中，按照式(15)～式(24)估算或积分计算惯测器件的误差值;

步骤3:当导弹和目标距离小于导引头开机距离时，计算导弹前置角θML，记录导引头开机时导弹飞行距离RM、目标斜距RT，计算σs;按照式(5)～式(7)计算误差的转换值，按照式(8)～式(14)计算导引头开机截获概率。

这样，在一次弹道计算过程中，就完成了导引头开机截获概率的计算。

4 仿真算例及结果分析

算例一:导引头开机交接概率计算

仿真条件:目标在20 km高空作机动过载为12 g的圆弧形机动，弹道倾角为0°，初始斜距60 km，初始方位角45°，速度400 m/s。导弹指向预测命中点发射，导引头作用(开机)距离12 km，半波束宽度假定为3.5°，地空通信数据链更新周期假定为1s。参照文献［10］假定制导雷达测量误差，参照文献［11］设定惯性测量器件的误差系数，如表1所示。

使用本文提出的计算方法，经计算得:

导弹在 29.6 s开机，开机时导弹 RM≈37.627 km，目标距离 RT≈49.369 km，导弹前置角 θML=10°，lE≈3 109.9 m，ra≈647.45 m，0.5lE/ra≈2.401 6，(0.5lE－d)/ra≈2.179 8，γs=0.286 5°，γ's=0.218 7°，d=143.62 m，则导引头开机截获概率为

同时，建立该导弹较为精确的仿真模型，进行400次仿真计算，结果如图8所示。

表1 各误差源假定参数Table 1 Parameter of error source

图8 雷达测量误差引起的导引头指向误差Fig.8 Homer oriented direction error caused by radar error

经蒙特卡洛仿真计算的导弹中末制导开机交接概率为95.5%。可见，本文计算模型的精度基本能达到估算的目的。

算例二:采用本文提出的方法研究数据链周期对导引头开机截获概率的影响。其中，目标做水平面内过载为2的蛇形机动，其余条件同算例一。

由表2可知，提高地空数据链数据更新速率，能提高导引头开机截获概率。这是因为数据更新速率的提高，可减小由于目标机动带来的偏差，从而提高开机截获概率，这个结论也可从式(24)得出。

表2 数据链周期对导引头开机截获概率的影响Table 2 Influence of data-link period on TAP

5 结论

(1)分析了影响导引头开机截获概率的主要误差源作用机理，将作用效果归结为导弹飞行散布区和导弹截获目标散布区，从而利用其服从的概率分布和两个区域的交集，计算导引头开机截获概率。与文献［5］相比，选择导弹散布而不是目标指示散布为基准，误差转换更加合理，可减小误差转换次数带来的转换误差。如初始对准误差和惯性测量误差，它们实际引起的是导弹的位置散布，在本文的计算模型中，无需进行转化就可使用。

(2)对一些需要积分导弹飞行过程参数才能获得的误差采用工程经验估算，计算精度能满足工程计算需求，同时减小了计算量。

(3)通过一次弹道计算，就可确定多次蒙特卡洛仿真才能得到的结果，计算简便，其精度能满足工程需求。

参考文献:

［1］(俄)BT斯维特洛夫，NC戈卢别夫.防空导弹设计［M］.北京:宇航出版社，2004.

［2］Vathsal S，Sarkar A K.Current trends in tactical missile guidance［J］.Defence Science Journal.2005，55(2):265-280.

［3］秦玉亮，李宏，王宏强，等.复合导引头交接班成功概率的建模与仿真［J］.系统仿真学报，2009，21(15):4736-4738.

［4］李峰，王新龙，王起飞.空空导弹目标截获概率研究［J］.电光与控制，2010，17(8):15-20.

［5］樊会涛.复合制导空空导弹截获目标概率研究［J］.航空学报，2010，31(6):1225-1229.

［6］Haruyoshi Kuno，Hisayuki Nakajima，Yuuichi Ueno.Midcourse guidance for fire and forget missile［C］.Military E-lectronics Defence Expo＇Conference Proceedings，1979:597-608.

［7］刘海军，王丽娜.复合制导防空导弹中末制导交班问题研究［J］.现代防御技术，2006，34(2):29-34.

［8］蓝伟华.火控系统误差与雷达型空空导弹截获目标概率计算［J］.电光与控制，2004，11(3):14-16.

［9］刘隆和，王灿林，李相平.无线电制导［M］.北京:国防工业出版社，1995:71-72.

［10］朱莉，张国权，高向军.导引头交班精度的雷达误差分析［J］.火控雷达技术，2008，37(2):14-17.

［11］赵志伟，张安，夏庆军.中远程空空导弹目标截获概率仿真计算［J］.火力与指挥控制，2011，36(10):160-164.