乔志勇，戴斌荣

(1.天津师范大学 教育科学学院，天津 300387；2.盐城师范学院，江苏 盐城 224051)

近年来，数学应用题的问题解决备受认知心理学研究者关注。数学应用题(mathematical word problems)指求解过程中须从陌生情境中辨别舍弃非本质要素，并理解分析题中逻辑数量关系的一类有实际意义背景的数学问题[1]。数学应用题是基础教育中数学教学的重点部分，也是很多学生学习的难点。

数学应用题依语义关系可分为三类。(1)组合问题：题中一个数量是固定不变的，解题者对数量进行合并或分解。如：甲有3面小红旗，乙有2面。问两人共有多少面小红旗？(2)变换问题：该类问题描述事物数量属性的增减变化。如：甲有3面小红旗，乙送给甲2面。问甲现在有多少面小红旗？(3)比较问题：要求比较两个不变量的大小。如：甲有3面小红旗，乙比甲多2面。乙有多少面小红旗？[2]虽然三种类型的题目逻辑数量关系相同，可以采用相同的算式(3+2=5)，但语义结构变化，难度就会变化。比较问题比前两类问题更容易出现错误，同时也说明能否准确地对问题进行心理表征是问题得以解决的关键。

何小亚综合多种理论，总结得出解决数学问题通常使用的步骤，分别是意识存在的问题、问题表征、决定问题解决策略和实施问题解决的方法、评价和反思四个阶段[3]。心理学家Simon认为问题表征是问题解决的中心环节，良好的问题表征是问题得以顺利解决的重要条件之一。问题表征是否准确极大地影响着问题解决的难易程度。

综合大量数学应用题表征研究，有关的研究方法众多，同时，学者们通过对该领域近30年的探究，提出许多有价值的理论模型。为加深对该领域研究的认识和理解，本文通过对数学应用题的心理表征研究的回顾，总结当前研究主要使用的研究方法技术，揭示心理表征影响因素，介绍心理表征理论模型，并指出未来研究应注意的方面。

一、数学应用题的心理表征研究的方法技术

数学应用题的解决是一种思维过程，主要在头脑内部操作，但是会反映在外部的行为或语言上，可以采用多种方法搜集解题过程中的不同数据进行探究，研究方法包括口语报告法、计算机模型法、眼动实验法、临床观察法和微观发生法。

口语报告法又称出声思维(Thinking aloud)。随着音像设备和电脑技术的不断发展，口语报告法逐渐成为心理学和教育学界中较为常用的研究方法之一。此方法受时空限制较少，可以用于成人或儿童的问题表征研究，但也存有一定的缺陷，解题者的思维可能会受到语言的干扰，有些问题并不适合以语言的方式表征，被试在报告的过程中容易将真实的表征形式转化为语言形式。此外事后提问具有延时性，因此无法同步反映解题者的心理过程。

计算机模型法是以经验性研究为基础，构造出解题者解题的计算机模型。根据模型做出的预测与实际观测的吻合程度决定模型的合理程度。具体的思路如下：分析解题过程中包含的认知加工成分，建立模型，然后优化模型，研究者根据减去某成分是否影响最后的解题表现来确定该成分的作用，直到形成模型。计算机模型包含两种知识：一种是与数学应用题有关的语言知识；另一种是解题所需的算术知识，减掉任何数学方面的知识，都会导致计算机彻底不能解题。Cummins在行为研究之后构造出计算机模型，在模型中引入类似于语言理解上的错误，当减掉起连结作用的语言知识时，如“共有”“比……少”等，计算机成功模拟了问题解决者解题中出现的错误。直接证明了除计算因素外，不同语义结构也会影响问题的难度，语义因素导致了不同的问题表征形式进而影响到对问题的解决。

眼动实验主要通过记录问题表征过程的眼动指标，如注视时间、平均注视持续点持续时间、回视时间和回视次数等，帮助研究者分析出声思维的加工过程，建构解题认知加工模型。该方法在一定程度上弥补了出声思维的局限。冯虹等分析了解题过程中的眼动指标，结果发现，随着年龄的增长，学生解题过程中的各种眼动指标之间的差异逐渐缩小；数学成绩优生在表征“关键信息”时的眼动模式与差生之间差异显著[4]。

临床观察法非常适用于年龄较小的被试群体，尤其适用于处于感知运算阶段的儿童，由于儿童年龄小不容易控制，行为容易受到其他因素的干扰，对主试的要求比较高，且随后的数据分析也存在一定的滞后性。实验者通过观察儿童行为分析儿童在问题解决中对问题的表征。实验者要尽可能仔细观察与记录儿童的解题步骤或操作行为，必要的时候需借助录像设备。儿童在解题过程中伸出5个左手指和3个右手指，逐一默数后给出答案。实验中儿童运用手指构建数量集合，表明儿童是使用手指策略来表征应用题的。

微观发生法是用于提供关于认知变化的精细信息的一种方法，适宜于研究某种心理能力、知识、策略等的形成过程，或阶段的转换机制。在整个变化发生过程中，通过高密度地观察行为，进而收集与认知变化有关的精细信息，如路线、速率、广度、来源和变化模式的多样性等。该方法要求反复地观察、记录和分析被试认知策略或技能变化的所有动态。该方法有三个关键特征：(1)持续性，观察从变化开始持续到相对稳定阶段；(2)一致性，观察密度与现象变化频率保持高度一致；(3)反复性，反复试验被观察行为，分析过程中的质变和量变。该方法也有一定的缺点，为获得抽样行为的详细数据，通常要单个测查，因此施行起来既复杂，又花费时间[5]。

二、数学应用题心理表征的影响因素

数学应用题的心理表征会受到内外两方面因素影响，如环境变量、任务变量或问题自身、主体变量或解题者的特征。

环境变量。从外部环境的角度来讲，噪音、光线、温度和通风等客观因素对问题心理表征有一定影响，但这些因素是通过影响有机体内部状态，如知觉、注意、记忆和情绪发挥作用的。

任务变量。任务变量指问题本身的特点，如问题语言表述、视觉化程度、应用题类型的设计，题目的呈现方式等。

问题语言表述会影响问题表征，清晰简洁的语言表述能促进问题解决者正确理解问题；而含混不清的语言表述使问题解决者出现表征错误。具体形象的语言表述与抽象的语言表述相比，问题解决者依据具体形象的语言表述更容易形成正确问题表征。邢强等研究文本表述和结构对小学生数学应用题表征的影响，结果发现概念性措辞问题和情境性措辞问题都促进了儿童解决数学应用题[6]。数学应用题内容的视觉化程度影响问题表征，进而决定问题解决，徐速的研究表明解决同等难度的应用题时，视觉依赖程度较低的应用题相对视觉依赖程度较高的应用题通过率要更高[7]。郑琳娜考察了应用题类型(比较、比率、植树和路程问题)与表征类型之间的关系，认为不同类型的应用题有相应的适宜表征[8]。蔡新华研究问题呈现方式与解答应用题的关系，发现问题呈现方式对解题有显著影响[9]。

主体变量。在解决数学应用题时，解题者的知识经验、认知风格和年级会直接影响问题表征。

个体的经验直接影响检验有关任务的假设以及尝试证伪该假设。问题专家与新手所掌握的知识经验不同，则在问题表征上有差异。面对同一问题时，新手往往背离关于问题的假定条件；而专家能抓住关键的信息进行表征，从而解决问题。认知风格也影响问题表征。不同认知风格的人的信息加工方式不同，从而影响问题表征，邓铸、曾晓尤考察了不同认知风格学生对问题表征及表征转换的影响[10]。被试的年级对问题表征也有影响，俞国良等的研究表明五、六年级学生在图式表征策略使用上和解题正确率上都显著高于四年级学生[11]。

三、问题表征的主要理论模型

心理表征在数学应用题解决中具有重要的作用。学者们从不同视角解释数学应用题表征的内部机制，如Mayer和Kintsch的理论探讨了问题表征的具体过程，Hegarty提出的直接转换-问题模型表征理论和视觉-空间表征理论分别从表征的策略和方式角度对应用题表征进行解释。我国学者在国外研究基础上对问题表征予以拓展和深化，代表性的有邓铸的表征态理论模型和辛自强的关系-表征复杂模型。

(一)Mayer的问题表征结构理论

该理论的核心观点是数学应用题解决的重要环节是问题表征而非解题计划的执行。问题表征包含两个部分：理解命题和识别题型。首先，应用题由四种命题组成：赋值命题，给变量赋以数值(如，“小明身高165cm”)；在赋值命题后添加关系命题，利用某种关系定义新变量(如，“他比小红高15cm”)；针对未知新变量提出问句命题(如“小红身高多少？”)；另外，在应用题中补充有关的事实情境命题。其次，是识别问题的类型。解题者在解题中需要对问题进行分类，从而获得各种类型问题的图式，识别问题中的数量关系类型。按语义关系数学应用题可归为三类：组合问题、变换问题和比较问题[12]。

(二)Kintsch和Greeno的表征理论

该理论认为问题表征是双重性的，一方面是表征命题性文本框架，数学应用题的实质是集合或多个集合的关系，要求解题者把语言表述转化为命题性文本框架，即转译成集合与集合的关系；另一方面是建立表征问题模型，模型中保留文本框架中与解题有关的重要信息，删除无关信息，补充解题者在知识结构基础上从相关问题领域推理的信息。

问题表征被划分成多个信息加工模块，模块间不一定遵循固定的顺序：第一，把语言转换成命题性文本框架；第二，表征特性与集合之间的关系图式，构建宏观结构问题模型；第三，表征数学运算的图式，问题解决的计算环节会使用该步骤[13]。

(三)Hegarty的视觉-空间表征理论模型

Hegarty于1999年正式提出“视觉-空间表征”，包含图像表征和图式表征两种类型。图像表征运用视觉表象建构生动的视觉图像，对问题情境中发生的人物和事件进行编码，图式表征运用空间表象构建事物的空间关系，并编码空间的转换[14]。

在数学问题解决的“视觉-空间表征”的最初研究中，多数研究者认为，解决数学问题时，视觉表征不仅能减轻工作记忆负荷，还能从整体上把握问题，使解题者能够更直观、清晰地理解问题结构的实质。但不是所有的“视觉-空间表征”策略都对问题解决起促进作用，其中的图像表征可能是阻碍问题成功解决的。徐速研究中发现，图式表征无论在非视觉化还是视觉化题目上都促进了问题解决，而图像表征妨碍非视觉化题目的解决，但与视觉化题目的解决无关[7]。另外，Azizah. A等人在考察马六甲学生的数学应用题视觉表征时发现，低于2%的学生在问题解决中使用图像表征，多数学生使用图式解决问题[15]。

(四)Hegarty的直接转换-问题模型表征理论模型

该理论是Hegarty等人在成功问题解决者和不成功问题解决者的表征策略研究背景下提出的。研究者认为数学应用题心理表征存在两种基本策略：直接转换策略，面对数学应用题时，解题者倾向于先注视数字和关键字，并对两者进行加工，该策略重在量的理解，即运算过程；问题模型策略与直接转换策略不同，在进行数学应用题解决时，解题者试图理解问题情境，根据表征的情境来制定解决计划，该策略重在质的推理，即理清问题中条件之间的关系[16]。李向阳从跨文化的角度出发探讨双语学生在问题解决理解阶段的差异，结果发现，使用母语的学生在解题中倾向于使用问题模型策略，而双语学生倾向于运用直接转换策略[17]。

(五)邓铸的表征态理论模型

邓铸在继承和发展产生式问题解决理论的基础上，结合生态学的观点，提出问题解决的表征态理论。该理论模型认为表征是认知活动变化的动态过程，贯穿于整个问题解决过程。表征态就是在特定问题情境中，内部知识经验和外部信息相互作用而形成的问题表征的相对稳定态，这一变化过程具有非线性的、连续的特征。在问题解决的过程中，问题解决者从问题的外部表征逐渐转换到内部表征，解题者的状态、知识经验和从已知条件中有效提取信息的能力不同，导致对问题结构的理解程度不同[18]。该理论尝试将个体因素和外部因素综合起来解释心理表征，但还缺乏系统详细的阐释。

(六)辛自强的关系-表征复杂理论模型

数学应用题的心理表征研究从未间断，后来者对早期模型进行着补充和修正。早期研究者的理论中提出问题表征存在两个关键因素：文本理解和关系识别，但对二者关系的阐述并不清晰。关系-复杂模型认为数学应用题表征困难首先是基于对应用题的理解，理清隐含在语言文字中的数理逻辑关系，是表征问题的关键所在。辛自强从问题的角度将关系复杂性区分为水平方向和垂直方向，并从问题解决者的角度依据问题的复杂性把问题表征分为广度表征和深度表征，在整体上反映表征水平。

辛自强认为数学应用题的本质属性是题目所涉及的集合关系的复杂性。从问题结构讲，数学应用题由三个集合组成，已知两个集合，求解第三个集合。这三个集合的关系被称为集合的初级关系(一级关系)。若集合的集合与其他集合建立关系，就形成了在初级关系基础上的次级关系，依次类推，可以形成更多层关系。这种通过关系的层级来界定问题的复杂性，被称为关系的等级复杂性；问题中水平方向上的关系数量代表关系的水平复杂性。关系的等级复杂性和水平复杂性统称为“关系复杂性”，用以说明问题难度的本质。问题的关系复杂性对解题者问题表征存在必然的影响。对应问题复杂性的“水平”和“等级”之分，问题表征也从两方面衡量：表征广度与表征深度。表征广度指解题者表征同一层次上集合关系的数量；而表征深度指解题者能表征的关系的最高层次。表征广度与表征深度统称为“表征复杂性”，反映解题者表征的质量和水平[19]。

多位学者对该理论模型进行了验证和应用。其中，辛自强基于该模型对矩形面积问题图式的等级性进行研究，发现从解决问题所要求的表征复杂性、知识基础两方面能说明图式等级性或模版(或问题类型图式)难度级差的本质，进而验证了模型的理论解释效力[20]。张夏雨等基于该模型研究问题图式的等级性，发现勾股定理问题图式具有等级性，且可以从表征深度和知识基础两方面来解释等级性的原因，但是这两项因素的解释作用需考虑问题解决者的已有水平；表征深度除用表征关系的最高层级数刻画之外，还与每级关系的表征难度有关，突出表现为表征关系所需的推理水平[21]。张莉等认为在该模型指导下，对应用题任务复杂性进行事前分析的思路是合理的、有效的。他们还编制了难度序列变化的应用题测验，以考察问题表征能力[22]。

四、总结与展望

从查阅的文献来看，国外对数学应用题心理表征的研究成果丰富，学者们从不同层面提出理论模型。我国对问题表征的研究虽然起步较晚，但是发展较为迅速，现有研究主要集中于数学应用题表征的影响因素探究和问题表征的理论模型探索方面。

随着数学应用题心理表征的研究逐步深入，对研究技术手段的要求也越来越高。在数学应用题心理表征研究方法技术上的进步更是有目共睹的，眼动实验和计算机模拟等新方法对研究数学应用题心理表征具有重大意义。

未来针对数学应用题心理表征的研究，应注意以下几方面：(1)在参与研究人员方面，问题表征作为当代认知科学的核心概念，使得越来越多的认知心理学家、数学家对其进行探讨。但是还应当关注实际教学中的数学应用题表征，需要更多的教师，特别是一线任课老师参与到该问题的研究中来，更加清晰地了解数学应用题表征的特点及内在机制，以期应用既有的理论或提出新的系统的理论指导教学实践活动。(2)在表征影响因素探索方面，目前问题解决的心理表征仅限于视觉输入信息，对于听觉信息的输入的研究较少。另外，以往多数研究仅对心理表征的单个影响因素进行探究，缺乏对影响因素的交互作用研究，如环境变量和主体变量。(3)在理论模型方面，目前的理论模型主要是在问题的角度上探讨影响个体认知的不同表征方式，没有关于不同表征个体是如何认知的系统理论模型，例如问题解决主要涉及个体的哪些脑区或者认知神经系统，这就需要相关研究技术特别是ERP和fMRI的使用。(4)在学科研究领域方面，由于问题表征对问题解决有着重要的作用，对不同学科应有所启发，可以将问题表征研究思路扩展到其他领域，如物理、化学，甚至音乐、体育等方面。

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