严兰兰， 韩旭里， 黄 涛

（1. 东华理工大学理学院，江西 南昌 330013；2. 中南大学数学与统计学院，湖南 长沙 410083）

五阶与六阶三角样条曲线

严兰兰1,2， 韩旭里2， 黄 涛1

（1. 东华理工大学理学院，江西 南昌 330013；2. 中南大学数学与统计学院，湖南 长沙 410083）

利用三角函数构造了两个含参数的函数组，它们分别由6个、7个函数组成，分析了这两个函数组的性质。由这两组函数定义了两种新的样条曲线，它们分别具有与五次、六次B样条曲线相同的结构。新曲线在继承B样条曲线基本性质的同时，又具备了一些新的优点。例如，在等距节点下，新曲线在节点处均可以达到C5连续，而且在不改变控制顶点的情况下，新曲线的形状均可以通过改变形状参数的值进行调整。另外，给出了使新曲线插值于控制多边形首末端点的方法，以及构造闭曲线的方法等，文中的图例说明了新方法的正确性和可行性。

曲线设计；三角函数；样条曲线；形状参数；连续性

B样条方法具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。虽然如此，B样条方法依然可以继续改进。为了使B样条曲线的形状可以在不改变控制顶点的情况下自由调整，文献[1-3]通过在基函数中加入参数来实现这一目标。为了使B样条曲线可以精确表示椭圆、摆线、螺旋线等，文献[4-5]通过在三角函数空间上构造基函数来实现这一目标。为了使B样条曲线可以精确表示双曲线、悬链线等，文献[6-8]通过在双曲函数空间上构造基函数来实现这一目标。为了使B样条曲线可以达到更高阶的连续性，文献[9-15]通过构造特殊的三角基函数来实现这一目标。此外，文献[9-15]中定义的曲线均具有形状可调性，另文献[11-15]中定义的曲线均可以表示椭圆。

为了进一步丰富三角样条曲线造型方法，继文献[14]定义了结构与性质类似于三次B样条曲线的三角样条曲线，文献[15]定义了结构与性质类似于四次B样条曲线的三角样条曲线之后，这里分别定义了结构和性质类似于五次、六次B样条曲线的三角样条曲线。新曲线的优点在于不仅具有形状可调性，而且还可以达到较高阶的连续性。

虽然与五次、六次B样条曲线相比，因为采用三角函数作为基函数，五阶、六阶三角样条曲线的计算量有所增加。但五次均匀B样条曲线在节点处只能达到C4连续，虽然六次均匀B样条曲线在节点处可以达到C5连续，但当控制顶点和节点向量给定后，五次、六次B样条曲线的形状便都被唯一确定了，要想修改它们的形状，必须调整控制顶点或节点向量，重新计算曲线方程。而这里即将给出的五阶、六阶均匀三角样条曲线除了在节点处可以达到C5连续之外，还可以在不改变控制顶点和节点向量的情况下，通过改变形状参数的取值方便有效地调整曲线的形状，因此这里为采用三角函数所付出的的增加计算量的代价是有理论和现实意义的。

1 函数组的构造与性质

为五阶三角样条函数；称函数

为六阶三角样条函数。

将三角样条函数中的各函数沿参数轴首尾相连，则构成一条完整的三角样条。图1和图2分别为取不同参数时得到的五阶、六阶三角样条。

图1 五阶三角样条函数

图2 六阶三角样条函数

五阶、六阶三角样条函数具有下列性质：

（1）退化性：当 λ= 1时， b50(t)= b55(t)= 0，五阶三角样条函数成为文献[11]中取 λ=1时的基函数，文献[12]中取 m= 3时的调配函数，文献[14]中取时的 β- B基；当 λ= 1时，b60(t)= b66(t)= 0，六阶三角样条函数退化为文献[15]中取 α=1时的 α- B基。

（2）非负性： b (t) ≥ 0(n= 5,6;i=0,1,…,n)。

2 曲线的构造与性质

定义2：给定控制顶点 P ∈ Rd(d = 2,3;i =0,1,

i… ,n)和节点向量 U=(u-4,u-3,…,un+2)，其中u-4＜ u-3＜ … ＜un+2。对于 i= 1,2,… ,n -4，定义

为五阶三角样条曲线段，所有曲线段构成样条曲线

为六阶三角样条曲线段，所有曲线段构成样条曲线

五阶、六阶三角样条曲线具有下列性质：

（1）凸包性：由五阶、六阶三角样条函数的非负性和规范性可知，由式(7)确定的曲线段位 于 由 控 制 顶 点形成的凸包 Hi内，由式(8)确定的整条曲线 p(u)位于所有凸包 Hi的并集内；由式(9)确定的曲线段位于由控制顶点形成的凸包 Ti内，由式(10)确定的整条曲线 q(v)位于所有凸包 Ti的并集内。

（2）几何不变性：由五阶、六阶三角样条函数的规范性可知，五阶、六阶三角样条曲线的形状均与坐标系的选取无关。

（3）对称性：由五阶、六阶三角样条函数的对称性可知，将五阶、六阶三角样条曲线的控制多边形顺序取反，将定义同一条曲线，仅曲线方向取反。

（4）连续性：由五阶、六阶三角样条函数的端点性质式(3)～式(6)，以及五阶、六阶三角样条曲线段的定义式易知

结合式(11)～式(13)有

其中， k= 0,1,… ,5，这说明五阶、六阶三角样条曲线均 G5连续，均匀五阶、六阶三角样条曲线均C5连续。

（5）形状可调性：由于五阶、六阶三角样条函数的表达式中均含有参数λ，故在不改变控制顶点的情况下，五阶、六阶三角样条曲线的形状均可以通过改变参数λ的值进行调整。

图3和图4分别为取不同参数时得到的五阶、六阶三角样条曲线，图中虚线为控制多边形。从图中可以看出，参数λ的值越大，五阶、六阶三角样条曲线越逼近其控制多边形。

图3 五阶三角样条曲线

图4 六阶三角样条曲线

3 曲线设计

开曲线与闭曲线的构造是曲线设计中最基本的内容，人们需要了解开曲线的端点行为和如何构造闭曲线。

由式(3)、式(4)、式(7)、式(8)可知，由控制顶点 P0,P1,… ,Pn定义的五阶三角样条曲线的起点、终点分别为由式(14)、式(15)可知：若记 P0与 P4的中点为， P1与 P3的中点为，则曲线的首点位于以边（位于边上，起点为 P，2长度为边的长度的倍）和（位于边上，起点为 P2，长度为边的长度的倍）为邻边形成的平行四边形的对角线（起点为 P2）的终点处。对于终点也有相似的结论。

方法1：先在边 P0P1上任取一点记作，在边 Pn-1Pn上任取一点记作，再由公式

方法2：先由公式

图5给出了在初始控制多边形相同的情况下，由不同方法得到的插值于控制多边形首末顶点的五阶三角样条曲线。图5(a)中的曲线是采用第一种方法得到的，图5(b)中的曲线是采用第二种方法得到的。

图5 插值于控制多边形首末顶点的五阶三角样条曲线

若控制多边形 P0P1… Pn是封闭的，即P0= Pn，为了使由之定义的五阶三角样条曲线也是封闭的，只需增加 4 个辅助顶点再由控制多边形定义五阶三角样条曲线即可（见图6(a)）。倘若不仅要求曲线封闭，而且要求曲线插值于控制多边形的首末顶点，即插值于点 P0(Pn)， 则 不 需 先 增 加 辅 助 顶 点而只需直接按照上一段所陈述的两种方法增加辅助顶点即可（见图6(b)）。

图6给出了由封闭控制多边形定义的封闭的五阶三角样条曲线。图6(a)中的曲线仅仅是封闭的，图6(b)中的曲线不仅封闭而且插值于控制多边形的首末顶点。

图6 封闭的五阶三角样条曲线

由式(5)、式(6)、式(9)、式(10)可知，由控制顶点 P0,P1,… ,Pn定义的六阶三角样条曲线的起点、终点分别为

由式(16)、式(17)可知：若记 Q0与 Q5的中点为Q1与 Q4的中点为Q2与 Q3的中点为则曲线的起点位于以边（位于边上，起点为Q23，长度为边的长度的倍）和（位于边上，起点为长度为边的长度的倍）为邻边形成的平行四边形的对角线（起点为Q23）的终点处。对于终点也有相似的结论。

方法1：先在边 Q0Q1上任取两点记作使点顺序排列，在边 Qn-1Qn上任取两点记作使点顺序排列，再由公式确定辅助顶点然后由控制多边形定义曲线即可（见图7(a)）。

方法2：先在边 Q0Q1上任取一点记作，在边上任取一点记作，再由公式

图7给出了在初始控制多边形相同的情况下，由不同方法得到的插值于控制多边形首末顶点的六阶三角样条曲线。

图7 插值于首末控制顶点的六阶三角样条曲线

若控制多边形 Q0Q1… Qn是封闭的，即Q0= Qn，为了使由之定义的六阶三角样条曲线也封闭，只需增加 5 个辅助顶点再由控制多边形定义曲线即可（见图8(a)）。倘若不仅要求曲线封闭，而且要求曲线插值于控制多边形的首末顶点，则只需直接按照上一段所陈述的两种方法增加辅助顶点即可（见图8(b)）。

图8给出了由封闭控制多边形定义的封闭的六阶三角样条曲线。图8(a)中的曲线仅仅是封闭的，图8(b)中的曲线不仅封闭而且插值于控制多边形的首末顶点，其中由内至外的曲线分别取参数

图9和图10 分别给出了五阶、六阶三角样条曲线的图形实例。图9中由大到小的星形曲线分别为由五角星形的控制多边形（点线线）和参数λ= 0,1所确定的五阶三角样条曲线。图10中的曲线为由图中控制多边形（点线）和参数 λ=1所确定的六阶三角样条曲线。

图8 封闭的六阶三角样条曲线

图9 星形图案

图10 手掌图案

4 总 结

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Five-and Six-Order Trigonometric Spline Curves

Yan Lanlan1,2, Han Xuli2, Huang Tao1
(1. College of Science, East China Institute of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha Hunan 410083, China)

Using trigonometric functions, two groups of functions with parameters are constructed, which consist of six and seven functions respectively. The properties of the two groups of functions are analyzed. Based on them, two kinds of new spline curves are defined, which have the same structure with quintic and sextic B-spline curves respectively. The new curves not only inherit the basic properties of B-spline curve, but also have some new advantages. For example, when the knot points are equidistant, the new curves can reach C5continuous at the knot points, and the shape of the new curves can be adjusted by changing the value of the shape parameter with the control points unchanged. In addition, the methods of making the new curves interpolating the first and end points of the control polygon, and the methods of constructing closed curves, etc, are given. The examples in the paper show the new method is correct and feasible.

curve design; trigonometric function; spline curve; shape parameter; continuity

TP 391

A

2095-302X (2014)02-0200-08

2013-05-22；定稿日期：2013-08-29

国家自然科学基金资助项目（11261003，11271376，60970097）

严兰兰（1982-），女，湖北浠水人，讲师，博士研究生。主要研究方向为计算机辅助几何设计。E-mail：yxh821011@aliyun.com