王海燕

摘 要： 子带结构是提高宽带噪声控制的有效方法，归一化子带自适应滤波（NSAF）结构消除了传统子带结构在输出端产生混叠分量的问题，但由于在每个子带上采用相同的全带自适应滤波器，使得计算量高于传统子带结构，集员滤波（SMF）技术具有数据选择更新的特点，可有效降低计算量，且在收敛速度和稳态均方误差之间具有较好的折中性。在此引入集员滤波技术，建立基于NSAF结构的无延迟前馈有源噪声控制系统，降低计算量，最后仿真验证了该算法对宽带噪声具有更优的降噪效果。

关键词： 宽带有源噪声控制； 集员滤波； 归一化子带自适应滤波； 计算量

中图分类号： TN957.51?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）03?0065?04

Broadband active noise control algorithm based on set?membership filtering

WANG Hai?yan

（Huaiyin Institute of Technology， Huaian 223003， China）

Abstract： Sub?band is an effective method to improve wideband noise control. The normalized sub?band adaptive filter （NSAF） can eliminate aliasing components in the output end of the traditional sub?band. For using the same full band adaptive filter in each sub?band makes the computation higher than traditional sub?band architecture， but the set?membership filter （SMF） technology can not only effectively reduce the computation due to its characteristic of data?selective update， but also more eclectic in convergence rate and steady?state mean square error， so the SMF technology is introduced to establish the no delay feedforward ANC system based on the NSAF， and reduce the computation. At last it is simulated and proved that the algorithm has better noise reduction effect for broadband noise.

Keywords： broadband active noise control； set?membership filter； normalized sub?band adaptive filter； computation

0 引 言

有源噪声控制（ANC）利用声波叠加原理[1]，通过次级声源产生一个与初级噪声幅度相同相位相反的声波，从而达到降噪的目的。Widrow等提出的滤波?XLMS算法（FXLMS）[2]在有源噪声控制中应用最为广泛，它是考虑到误差通道的影响而对LMS算法的推广，这两种算法都是在均方误差准则下得到，因此算法收敛速度慢，对宽带噪声降噪效果差。为此人们根据宽带噪声频谱特性，提出了子带自适应滤波结构。传统的子带自适应滤波结构[3?4]是将全带自适应滤波器分割到各个子带上分别处理，每个子带单独使用一个自适应子滤波器，这种子带结构会在自适应滤波器的输出端产生混叠分量，从而使得传统子带自适应滤波器具有较高的稳态均方误差。为了解决这一问题，Lee和Gan提出了一种新的归一化子带自适应滤波（Normalized Subband Adaptive Filtering，NSAF）[5?6]结构则不再存在混叠分量问题，在NSAF结构中，通过在每个子带上使用相同的全带自适应滤波器，并使用一组约束条件来更新权系数，因此它具有较低的相关性和最小的扰动性，具有较好的收敛性能。在计算量方面，由于采用了严格采样，与NLMS算法的计算量相当，但高于传统子带结构。而Lee和Gan的算法中采用了定步长，在收敛速度和稳态均方误差之间同样存在折中的问题，所以人们在收敛速度、稳态均方误差、计算量三方面进行了一系列的改进[7?8]。其中文献[9]将集员归一化算法[10]（SM?NLMS）扩展到NSAF结构中提出SM?NSAF算法，动态的在收敛速度和稳态均方误差之间进行折中，并且通过数据选择更新降低了计算量。

本文针对宽带噪声，建立了基于NSAF结构的无延迟前馈ANC系统，将SM?NSAF算法扩展到FXLMS算法中，通过仿真实现了对宽带噪声的控制，验证了该结构算法的性能。

1 SM?NSAF算法

1.1 NSAF算法

归一化子带自适应滤波器（NSAF）结构如图1所示，其中[H0（z），H1（z），…，HN-1（z）]是一组[N]带具有正交性的严格采样余弦调制滤波器组，[ui（n）]和[di（n）]为子带参考信号和期望信号，[ui（n）]通过自适应滤波器[W（k，z）]生成子带输出信号[yi（n）]，对[di（n）]和[yi（n）]进行[N]倍抽取生成子带抽取信号[di，D（k）]和[yi，D（k）]，注意这里用[n]表示抽取前的因子，[k]表示抽取后的因子。

图1 NSAF结构

自适应滤波器第[i]个子带的输出信号为：

[yi，D（k）=m=0M-1ui（kN-m）wm（k）=uTi（k）W（k）] （1）

式中：[W（k）]为自适应滤波器[W（k，z）]在[n=kN]时刻的系数向量，长度为[M]，且

[W（k）=[w0（k），w1（k），…，wM-1（k）]Tui（k）=[ui（kN），ui（kN-1），…，ui（kN-M+1）]T]

第[i]个子带误差信号为：

[ei，D（k）=di，D（k）-yi，D（k）] （2）

Lee和Gan基于最小扰动原理提出如下最优约束方法推导NSAF算法[5]：

[min f[W（k+1）]=W（k+1）-W（k）2] （3）

[s.t.di，D（k）=uTi（k）W（k+1）， i=0，1，2，…，N-1] （4）

利用拉格朗日乘子法求解上述受约束最优化模型，得：

[W（k+1）=W（k）+U（k）[UT（k）U（k）]-1eD（k）] （5）

其中：

[U（k）=[u0（k），u1（k），…，uN-1（k）]eD（k）=[e0，D（k），e1，D（k），…，eN-1，D（k）]]

利用余弦调制滤波器组的正交性[11]，有如下对角化，假设：

[UT（k）U（k）=diagu0（k）2，u1（k）2，…，uN-1（k）2]

自适应滤波器系数向量更新公式可以写成：

[W（k+1）=W（k）+μi=0N-1ui（k）δ+ui（k）2ei，D（k）] （6）

1.2 SM?NSAF算法

Gollamudi等将集员理论推广到广义的滤波问题[10]，建立了随机梯度算法的集员等价，即SM?NLMS 算法。文献[9]将集员滤波的思想进一步推广到NSAF算法中，提出了具有数据选择性变步长更新的集员归一化子带自适应滤波（SM?NSAF）算法。

在SM?NSAF算法中定义输入?期望数据对的约束集为：

[W（k+1）∈（Ψk，0?Ψk，1?…?Ψk，N-1）Ψk，i=W∈RM：di，D（k）-uTi（k）Wγ] （7）

其中[γ]为噪声界，一般选用测量噪声[v（n）。]采用递推算法解上述定界椭球集合，即在每个子带中将[W（k）]正交投影到最近的[Ψk，i]边界上，通过递推求得最优[W（k+1）。]

[W（k+1）=W（k）+i=0N-1αi（k）ui（k）δ+ui（k）2ei，D（k）] （8）

其中：

[αi（k）=1-γei，D（k）if ei，D（k）>γ0otherwise] （9）

上式可以表示为矩阵形式：

[W（k+1）=W（k）+U（k）[UT（k）U（k）]-1α（k）eD（k）] （10）

其中：[α（k）=diag（α0（k），α1（k），…，αN-1（k））]。

2 基于NSAF结构的前馈ANC系统

基于NSAF结构的前馈ANC系统如图2所示，相较于图1为了消除由分析综合滤波器组所带来的延迟，不再采用综合滤波器组。[x（n）]为初级传感器拾取的参考信号，[e（n）]为误差传感器拾取的误差信号，[P（z）]为从初级传感器到误差传感器之间的传递函数，称之为初级通道；[S（z）]为从次级源到误差传感器之间的次级通道传递函数，称之为次级通道；[S（z）]是次级通道[S（z）]的估计，[r（n）]为[x（n）]经过[S（z）]后的滤波参考信号；实际应用中一般无法得知[S（z）]和[d（n）]，可以用其估计模型[S（z）]和[d（n）]代替。

由上一节SM?NSAF算法扩展到FXLMS算法中，滤波参考信号[ri（n）]代替原参考信号[ui（n）]，则权系数向量更新公式为：

[W（k+1）=W（k）+i=0N-1αi（k）ri（k）δ+ri（k）2ei，D（k）] （11）

[αi（k）=1-γei，D（k）if ei，D（k）>γ0otherwise] （12）

或：

[W（k+1）=W（k）+R（k）[RT（k）R（k）]-1α（k）eD（k）ri（k）=x（kN）?S（kN）*Hi（kN）ri（k）=[ri（kN），ri（kN-1），…，ri（kN-M+1）]TR（k）=[r0（k），r1（k），…，rN-1（k）]] （13）

其中，[γ]为噪声界，选用系统在静态时从误差传感器端获得的测量噪声[v（n）。]

图2 基于NSAF前馈ANC系统

3 计算量分析

根据文献[5]中，以每输入一个全频带信号需要的乘法次数为指标，NSAF算法需要的乘法次数为[3M+3NL，]与NLMS算法相比多[3NL]次，但由于在有源噪声控制中[M?NL，]因此与NLMS算法计算复杂度相近。文中将SM?NSAF算法扩展到FXLMS算法中，SM?NSAF算法权系数的更新由式（9）决定，计算量小于NSAF算法。

4 仿真分析

下面通过对宽带噪声的仿真验证算法性能。设初级通道[P（z）]和次级通道[S（z）]长分别为512阶和256阶；使用2种具有不同相关性的宽带信号作为输入参考信号，即宽带高斯白噪声和宽带有色信号。其中宽带有色信号是通过自回归滑动平均ARMA（2，2）模型得到，即将高斯白噪声通过如下系统：

[T（z）=1+0.5z-1+0.81z-21-0.59z-1+0.4z-2]

系统噪声[v（n）]是均值为零、方差为[σv2=0.000 1]的高斯白噪声，且与输入信号相互独立。采用[N=16]个子带的余弦调制滤波器组，自适应滤波器长度为[M=256，]所有学习曲线为100次独立实验平均后的结果。文献[12]讨论了[γ]值的选取，这里选取[γ]为[σv]。

图3比较了在宽带高斯白噪声情况下，选择不同步长时NSAF算法与SM?NSAF算法的性能。从图3（a）中可以看出由于SM?NSAF可以在收敛过程中自动调整步长，比NSAF算法具有更好的收敛性和较小的失调量；而从图3（b）中可以看出SM?NSAF算法可以达到更好的降噪效果；图3（c）给出了在一次独立迭代实验中选择的子带数目，可见大大减少了计算量，体现了SM?NSAF算法通过时间稀疏的数据选择性更新来降低计算复杂度的性能。

图3 NSAF与SM?NSAF算法比较（宽带白噪声）

图4比较了在宽带有色信号下，选择不同步长时NSAF算法与SM?NSAF算法的性能。同样从3幅图的比较中可以看出SM?NSAF比NSAF算法具有更好的收敛性和较小的失调量，可以达到较低的降噪效果，而在每次实验中选择部分子带进行更新，大大降低了计算量。而从图3和图4的对比可以看出对有色信号具有更好的收敛性能，但需要用到较多的子带，这和信号本身相关性有关。

图4 NSAF与SM?NSAF算法比较ARMA（2，2）

最后图5比较了本文算法与传统Morgan算法的性能，通过观察可以看出本文算法具有更快的收敛速度和更好的降噪效果。而且在本节算法中采用余弦调制滤波器组进行子带分解，产生的是实信号，更适合实际应用实现。

5 结 语

本文针对宽带噪声，建立了基于NSAF结构的无延迟前馈ANC系统，并引入集员滤波技术，将SM?NSAF算法扩展到FXLMS算法中，利用集员滤波技术来减少计算量。仿真结果表明：由于采用集员滤波技术，对每个子带上的数据都进行了时间稀疏，大幅降低了计算量，同时在收敛速度和稳态失调量之间也达到了很好的折中。而本文算法与传统的无延迟子带算法相比具有更快的收敛速度和更好的降噪效果，而且通过采用余弦调制滤波器组进行子带分解，产生实值信号，更适合实际应用实现。

图5 SM?NSAF算法与Morgan算法比较

参考文献

[1] NELSON P A， ELLIOTT S J. Active control of sound [M]. San Diego， CA： Academic Press Limited， 1992.

[2] WIDROW B， SHUR D， SHAFFER S. On adaptive inverse control [C]// Proceedings of 15th Asilomar Conference on Circuits， Systems and Computers. Pacific Grove， CA： IEEE， 1981： 185?189.

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[7]倪锦根.变设计参数子带自适应滤波器研究[D].上海：复旦大学，2010.

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[10] GOLLAMUDI S， NAGARAJ S， KAPOOR S， et al. Set?membership filtering and a set?membership normalized LMS algorithm with an adaptive step size [J]. IEEE Signal Processing Letters， 1998， 5（5）： 111?114.

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[12] DINIZ P S R， WERNER S. Set?membership binormalized data?reusing LMS algorithms [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2003， 51（1）： 124?134.

[T（z）=1+0.5z-1+0.81z-21-0.59z-1+0.4z-2]

系统噪声[v（n）]是均值为零、方差为[σv2=0.000 1]的高斯白噪声，且与输入信号相互独立。采用[N=16]个子带的余弦调制滤波器组，自适应滤波器长度为[M=256，]所有学习曲线为100次独立实验平均后的结果。文献[12]讨论了[γ]值的选取，这里选取[γ]为[σv]。

图3比较了在宽带高斯白噪声情况下，选择不同步长时NSAF算法与SM?NSAF算法的性能。从图3（a）中可以看出由于SM?NSAF可以在收敛过程中自动调整步长，比NSAF算法具有更好的收敛性和较小的失调量；而从图3（b）中可以看出SM?NSAF算法可以达到更好的降噪效果；图3（c）给出了在一次独立迭代实验中选择的子带数目，可见大大减少了计算量，体现了SM?NSAF算法通过时间稀疏的数据选择性更新来降低计算复杂度的性能。

图3 NSAF与SM?NSAF算法比较（宽带白噪声）

图4比较了在宽带有色信号下，选择不同步长时NSAF算法与SM?NSAF算法的性能。同样从3幅图的比较中可以看出SM?NSAF比NSAF算法具有更好的收敛性和较小的失调量，可以达到较低的降噪效果，而在每次实验中选择部分子带进行更新，大大降低了计算量。而从图3和图4的对比可以看出对有色信号具有更好的收敛性能，但需要用到较多的子带，这和信号本身相关性有关。

图4 NSAF与SM?NSAF算法比较ARMA（2，2）

最后图5比较了本文算法与传统Morgan算法的性能，通过观察可以看出本文算法具有更快的收敛速度和更好的降噪效果。而且在本节算法中采用余弦调制滤波器组进行子带分解，产生的是实信号，更适合实际应用实现。

5 结 语

本文针对宽带噪声，建立了基于NSAF结构的无延迟前馈ANC系统，并引入集员滤波技术，将SM?NSAF算法扩展到FXLMS算法中，利用集员滤波技术来减少计算量。仿真结果表明：由于采用集员滤波技术，对每个子带上的数据都进行了时间稀疏，大幅降低了计算量，同时在收敛速度和稳态失调量之间也达到了很好的折中。而本文算法与传统的无延迟子带算法相比具有更快的收敛速度和更好的降噪效果，而且通过采用余弦调制滤波器组进行子带分解，产生实值信号，更适合实际应用实现。

图5 SM?NSAF算法与Morgan算法比较

参考文献

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[T（z）=1+0.5z-1+0.81z-21-0.59z-1+0.4z-2]

系统噪声[v（n）]是均值为零、方差为[σv2=0.000 1]的高斯白噪声，且与输入信号相互独立。采用[N=16]个子带的余弦调制滤波器组，自适应滤波器长度为[M=256，]所有学习曲线为100次独立实验平均后的结果。文献[12]讨论了[γ]值的选取，这里选取[γ]为[σv]。

图3比较了在宽带高斯白噪声情况下，选择不同步长时NSAF算法与SM?NSAF算法的性能。从图3（a）中可以看出由于SM?NSAF可以在收敛过程中自动调整步长，比NSAF算法具有更好的收敛性和较小的失调量；而从图3（b）中可以看出SM?NSAF算法可以达到更好的降噪效果；图3（c）给出了在一次独立迭代实验中选择的子带数目，可见大大减少了计算量，体现了SM?NSAF算法通过时间稀疏的数据选择性更新来降低计算复杂度的性能。

图3 NSAF与SM?NSAF算法比较（宽带白噪声）

图4比较了在宽带有色信号下，选择不同步长时NSAF算法与SM?NSAF算法的性能。同样从3幅图的比较中可以看出SM?NSAF比NSAF算法具有更好的收敛性和较小的失调量，可以达到较低的降噪效果，而在每次实验中选择部分子带进行更新，大大降低了计算量。而从图3和图4的对比可以看出对有色信号具有更好的收敛性能，但需要用到较多的子带，这和信号本身相关性有关。

图4 NSAF与SM?NSAF算法比较ARMA（2，2）

最后图5比较了本文算法与传统Morgan算法的性能，通过观察可以看出本文算法具有更快的收敛速度和更好的降噪效果。而且在本节算法中采用余弦调制滤波器组进行子带分解，产生的是实信号，更适合实际应用实现。

5 结 语

本文针对宽带噪声，建立了基于NSAF结构的无延迟前馈ANC系统，并引入集员滤波技术，将SM?NSAF算法扩展到FXLMS算法中，利用集员滤波技术来减少计算量。仿真结果表明：由于采用集员滤波技术，对每个子带上的数据都进行了时间稀疏，大幅降低了计算量，同时在收敛速度和稳态失调量之间也达到了很好的折中。而本文算法与传统的无延迟子带算法相比具有更快的收敛速度和更好的降噪效果，而且通过采用余弦调制滤波器组进行子带分解，产生实值信号，更适合实际应用实现。

图5 SM?NSAF算法与Morgan算法比较

参考文献

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