杨志坚

(西南民族大学电气信息工程学院, 四川 成都 610041)

斯特姆
——刘维尔本征值问题的自然边界条件

杨志坚

(西南民族大学电气信息工程学院, 四川 成都 610041)

系统地讨论了斯特姆—刘维尔本征值问题中, 存在自然边界条件的几种情况: 1、在求解区间[a,b]上, 函数k(x)有一级零点, 则在该零点处一定存在自然边界条件; 2、在求解区间[a,b]上, 函数k(x)有二级零点, 仅当q-2≤0时, 在该零点处存在自然边界条件; 3、求解区间[a,b]上, 函数k(x)有高于二级零点, 且斯特姆——刘维尔方程在该零点处存在一个有界解, 在该零点处才存在自然边界条件.

斯特姆——刘维尔本方程; 本征值问题; 分离变量法; 自然边界条件.

在数学物理方法中常见的几种偏微分方程在坐标系下分离变量时, 就会出现含参量的二阶线性非齐次常微分方程.如勒让德方程, 贝塞尔方程等.这些常微分方程都可以用斯特姆——刘维尔方程(以下简称S—L方程), S—L方程可表述如下:

为了后面的讨论, 这里介绍一下二阶线性齐次常微分方程的标准形式

S—L方程附上边界条件即构成S—L本征值问题.在物理学中, 有一类边界条件是物理系统所处的具体物理环境的数学反映, 它需要人们具体规定, 这种边界条件称为人为边界条件, 简称边界条件.还有一类边界条件是物理系统本身的固有性质的数学反映, 它是客观存在的, 与物理环境无关, 称其为自然边界条件, 其数学表现为要求解函数单值, 有界等.

对自然边界条件的存在性问题, 大多数……