俞新龙

在最近一段时间的复习中，经常遇到圆锥曲线中一类斜率关系题，从同学们答题的情况看，掌握的不理想，下面，我们通过四道典型问题一起来集中突破.

（注：每题第（1）问请同学们自行求解.）

例1. 已知抛物线C：y=ax2过点P（4，4）.

（I）求实数a的值；

（II）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB的斜率分别为K1，k2，且k2-k1=1，若△AOP的面积是△AOB的面积的2倍（O为坐标原点），求直线PA的方程.

解析： （I）a=.

（II）在改卷中，我们发现同学们知道是根据面积关系建立等式，但如何把斜率关系用起来却成为了问题.其实，斜率关系可以直接用，也可以简接用.

直接用：要求直线PA方程，还缺其斜率k1，故我们可以通过联立方程求交点，并通过两斜率的关系统一化为同一变量k1，再将面积关系转化出等式求解k1.

联立直线PA与抛物线C方程y=k1（x-4）+4，y=x2，得x2-4k1x+16k1-16=0，

解得x=4或x=4k1-4，所以点A的坐标为（4k1-4，4（k1-1）2），

同理，点B的坐标为（4k2-4，4（k2-1）2），因为k2=k1+1，所以B（4k1，4k12）.

于是可得直线OA方程为y=（k1-1）x，从而由点到直线的距离公式得，点P到直线OA的距离d1=，点B到直线OA的距离d2=.

根据△AOP的面积是△AOB的面积的2倍，知d1=2d2，故│k1-2│=2│k1│，

解得k1=-2或k1=，所以直线PA的方程为2x+y-12=0或2x-3y+4=0.

间接用：要求直线PA方程，还可以通过求A点坐标（x1，x12）.可以通过k1、k2斜率关系和面积关系求解x1.

设A（x1，x12），B（x2，x22），则k1==（x1+4），

同理k2=（x2+4），所以由k2-k1=1可得x2-x1=4.

因为直线OA方程为y=x1x，即x1x-4y=0，所以点P到直线OA的距离d1=，

同理点B到直线OA的距离d2===.

根据△AOP的面积是△AOB的面积的2倍知d1=2d2 ，即│x1-4│=2│x1+4│，

解得x1=-12或x1=-，从而k1=-2或k1=，

所以直线PA的方程为2x+y-12=0或2x-3y+4=0.

例2. 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（1，0）的直线线l与椭圆C相交于A，B两点.点P（4，3）），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1，k2最大时，求直线线l的……