☉浙江省宁波市宁波东海实验学校 陈明儒

追根究因 方能明理
——一道中考选择题的错因分析

☉浙江省宁波市宁波东海实验学校 陈明儒

一、缘起

暑假初中数学教师培训会上，其中区内有位Z教师发言，主题是关于2013年宁波市中考数学卷的评价，在讲到第12题（选择题）时，介绍了两种解法，实录如下.

题目：7张如图1所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a、b满足（ ）.

图1

图2

解法1：如图2，记左上角阴影部分的面积与右下角阴影部分的面积分别为S1、S2，AG=x.S=S1-S2，AD=BC=x+a，EC=x+a-4b.S1=3bx，S2=a（x+a-4b）.因此，S=S1-S2=3bx-a（x+a-4b）.由题意知：当BC的长度变化时，x也随之改变，现不妨取x=a，x=2a，因为S始终保持不变，所以，3ab-a（a+a-4b）=6ab-a（2a+a-4b），整理得a2-3ab=0，解得a=0或a=3b.

因为a≠0，则a、b必须满足a=3b.因此，选B.

解法2：前面部分同解法1，不妨取x=a，x=4b，则3ab-a（a+a-4b）=12b2-a（4b+a-4b），整理得a2-7ab+12b2=0，解得a=3b或a=4b.所以，问题的答案是：B或D.而试卷的标准答案是B，Z教师发现解法2有问题，但问题究竟出在哪里呢？他就征询下面听课的老师：“解法2错在哪里？”

二、探究

读者不难发现，解法1与解法2一脉同源，那么问题究竟出在哪里呢？这个问题引起了笔者的思考与探究.首先，想到将两个答案中的等量关系分别代入图2检验.

当a=3b时，将左上角阴影部分平移至右上角（如图3），发现上下两个黑色矩形一边相等且都为3b，另一边长始终相差b，则对应的面积之差为3b2，为定值，符合题意.

图3

再看，当a=4b时，同样将左上角阴影部……