蒋好忱，杨勤科

（1.国家测绘地理信息局 第一地形测量队，陕西 西安710054；2.西北大学 城市与环境学院，陕西 西安710127）

地形起伏度（relief amplitude）是定量描述地貌形态，划分地貌类型的重要指标［1］。目前，地形起伏度在各个学术应用领域都得到了广泛的关注（如水土流失定量评价［2］、潜在土壤侵蚀评价［3］、生态敏感性评价［4］、区域滑坡灾害评价［5］等）。在此基础之上，一些国内外学者对起伏度的计算方法有了一定的探讨。Olaya［6］总结提出了起伏度提取的5种算法，牛文元［7］在对我国21世纪环境情况的预测研究中，将全国区域内平地对地形起伏度的影响考虑在内，总结出了一种新的方法。在起伏度提取中窗口分析是较为常用的方式，刘振东［8－9］、刘新华［2］、朗玲玲［10］、张锦明［11］等人利用不同的数据源，采用不同的研究方法，以不同范围的研究区确定了不同区域中的起伏度提取的窗口大小。虽然地形起伏度存在若干种算法，但现有研究中大多均采用局地高差法。为此，本研究尝试计算起伏度提取的不同算法，并对其进行了对比分析，研究结果对进一步明确地形起伏度的概念及其适用范围具有重要的指导意义，同时可为区域水土流失评价提供较为准确的起伏度数据。

1 研究方法

1.1 数据基础

以全国1 000m分辨率DEM为数据基础。该数据利用了全国8 740幅1∶5万和3 861幅1∶10万地形图按28.125″×18.750″（经差×纬差）采样得到。数据允许的最大高差读数误差为10～20m，经投影换算及重采样后空间分辨率为1 000m，投影方式为Albers投影。

为具有普适性，在全国范围内我们分别选取了黄土高原、四川盆地、横断山区、东南丘陵、山东丘陵以及东北地区6个典型样区。每个样区面积大约为3.0×104km2，各样区基本资料详见表1。

表1 样区地表特征样区

1.2 起伏度算法及其提取

本研究就上文所提及的6种不同的算法（表2）进行比较分析。局地高差法用某特定范围内的高差（m）来表示地形起伏状况。该算法是比较流行的算法、也相对较简单。局地标准差用某特定范围内高程标准差（m）来表示地形起伏。这两种方法可通过邻域操作来完成。在Arc／Info中的GRID模块下，分别利用Focalrange，Focalstd函数来计算。表面积与投影面积比也是计算起伏度的方法之一，可求算投影面积／表面积，再将结果换算为坡度的弧度值。RUGN法是在局地高差法的基础上与分析窗口面积的开平方之比［12］。矢量法通过对坡度、坡向的三角函数运算，得到垂直于地形表面每个像元的单位向量，再对3个方向上的分量求取平方和并开平方得到起伏度（rad）［13］。RDLS算法［7，14］计算起伏度时将平地地区排除（最大高差小于等于30m为平地［15］），只将非平地地区参与运算。

表2 6种起伏度计算方法

算法5中的Xi，Yi，Zi这3个变量可分别由坡度s（弧度）和坡向a通过公式（1）计算得到：

算法6中A为分析区域总面积，P（A）为平地面积。根据刘新华［2］的研究，本文算法中涉及窗口分析时，分析窗口栅格数统一设为5×5。

1.3 比较方法

起伏度在一定程度上与坡度有着密切的关系，两者在本质上都是地表垂直量与水平量关系的表达。起伏度在空间尺度上比坡度略微宏观。因此，可以将通过不同算法得到的起伏度与该地区的坡度进行比较，从而确定不同的算法对地形起伏状况的不同表达程度。（1）对比不同算法的地形起伏度表面与坡度表面结构的相似性，可通过Arc／Info GRID模块中的CORRELATION函数计算图像的相关性指数；（2）计算不同起伏度结果的信息量，一般来说，信息量越大对地表起伏状况表达的程度越详细；（3）从统计分布上进行对比。对比不同算法的统计特征值以及其频率分布特征。

2 结果与分析

2.1 起伏度的提取

采用表2中的6种算法分别对黄土高原、四川盆地、横断山区、东南丘陵、山东丘陵、东北地区的典型样区进行起伏度的提取，由提取结果分析得出，不同算法提取的起伏度结果在结构上基本相似。与原始DEM表面纹理对比可知，不同的算法计算出的起伏度较高的地区大多位于丘陵沟壑区的坡地上，以及较陡的沟谷两侧；在峁顶以及沟谷的底部则起伏度较小。6种算法提取的结果大致符合地形结构的分布状况，6种算法均可以正确的反映地表起伏度的变化趋势。虽然不同的算法提取的起伏度结果不同，但并未改变地形分布的内在规律。

为比较不同算法间的差异性，对6种算法提取的起伏度结果分别作频率曲线，并对特征值进行统计，再将结果统一拉伸为1～100之间（图1）。一般来说，在相同的地形区条件下样本足够大时起伏度应是一个正态随机变量，其结果应大致接近于正态分布。由图1中可以看出，除算法3（投影面积比）之外，各起伏度算法频率分布曲线均接近正态分布，统计特征值也较为接近。投影面积比法分布状况虽呈正偏态，但从图像上看提取结果依然尚可。矢量法和投影面积比法由于经过三角函数运算，使得较其余4种方法在内部结构分布上数值于较小区域较为集中，这两种方法在提取起伏度时会造成某些局部地区起伏度提取结果偏小。

图1 各地区不同起伏度算法频率分布曲线

2.2 相关性指数的计算

不同的起伏度提取方法在不同的地形地貌区的适用性是一个值得探索的问题。由于起伏度与坡度在本质上都是地表垂直量与水平量关系的表达，因此尝试将不同算法提取结果与该地形区的坡度进行比较，与坡度的相关性越好，则说明该方法在此地形区中越适用。采用CORRELATION函数提取各个样区中不同起伏度算法与坡度的相关系数（图2），相关系数越接近于1，则表示相关性越强。由图2可知，6种不同的算法所提取的结果与坡度的相关性指数基本都位于0.8以上，整体相关性较好。但在不同的地形区中，各起伏度算法的适用性并不相同。适用性由高到低排序为：（1）东北地区。局地标准差法＞局地高差法＝RUGN＞投影面积比法＞矢量法＞RDLS；（2）东南丘陵和山东丘陵区。局地标准差＞局地高差法＝RUGN＞RDLS＞投影面积比法＞矢量法；（3）横断山区。局地标准差＞局地高差法＝RUGN＞RDLS＞矢量法＞投影面积比法；（4）在黄土高原和四川盆地。投影面积比法＞局地标准差＞矢量法＞局地高差法＝RUGN＞RDLS。

由分析结果可以看出，在大部分地区局地标准差、局地高差法以及RUGN法的适用性都比较好。RDLS法在地形较为复杂的区域有较好的适用性，但是由于该方法将高差小于等于30m的地区视为平地，忽略了平地地区的起伏度，因此在东北地区、四川盆地等较为平坦地形区的适用性并不理想。

图2 各地区不同起伏度提取结果与坡度的相关性

2.3 起伏度信息量的计算

信息容量的概念来自于计算机图形图像学，能够很好地描述图像表达内容的详细程度与复杂性。起伏度信息量的大小与结果的评价之间有着非常紧密的联系，信息量越大则表明对细节的表达程度越完整，效果越好；反之，则说明在局部地形的表达上不够完整。目前，定量计算信息容量的方法有很多种［16］，一般有标准差、均方误差、信噪比、平均梯度以及信息熵等方法。其中标准差和均方误差主要侧重于度量灰度像元值的离散程度，忽略了整体分布规律和视觉效果；而信息熵则主要统计了整体像元灰度值的丰富程度，对微观上各像元与其相邻像元之间的灰度值关联性考虑不足。

李志林［17］针对DEM提出了元分维模型的概念，这是一种能够有效揭示DEM中内部高程变异复杂性的新方法，它将传统的对DEM整体的综合平均分维方法进行了一定的扩展。张哲［18］在此基础上利用二维直方图，通过统计邻近像元之间的离散程度，构建了基于图像复杂度评价的信息容量模型。本研究利用此方法，将6种算法提取的起伏度结果值统一拉伸至0～255之间，通过Matlab编程，分别计算坡度以及6种起伏度算法的信息量（图3）。由图3可知，不同算法提取的起伏度信息量值较为接近，略小于坡度的信息量，且在地形较复杂的高原山地地区要明显高于地势较平坦的平原地区。就算法之间而言，局地标准 差 （std）、局 地 高 差 （focalrange）、RDLS 以 及RUGN法在所选取的6个地形区中的信息量均略高于其他两种方法。与上文中各算法与坡度的相关性结论基本一致。

2.4 各种算法下起伏度的宏观格局分析

全国范围内，由各种算法起伏度的宏观格局（图4）可知：（1）各算法所提取的地形起伏度基本上都能够反映全国地势的起伏变化分布情况。在天山、昆仑山、祁连山、横断山区等高山地区以及丘陵区和我国地形三级阶梯的分界线上的地形起伏度相对较大；在平原、盆地地区的起伏度较小；（2）由不同算法之间的比较可以发现：算法3，算法5所得结果图的整体亮度值较其他算法偏暗，这主要是因为这两种算法计算出的起伏度值在局部地区偏小。由于算法6在计算时认为高程差小于等于30m的地区为平地（起伏度为0），所以忽略了一些有微小起伏的区域，如长江中下游平原，塔克拉玛干沙漠等地区，与真实情况略有差别。虽然该方法在地势平缓地区的适宜性不高，但就全国范围而言，该方法依然具有可行性。算法1，算法2提取的结果从图像上看较为适中；（3）分析各种算法与坡度的相关性（表3）可知，在全国范围内，算法1，算法2及算法6的结果与坡度最为吻合。

图3 不同起伏度算法的信息量

图4 全国范围6种起伏度算法提取结果

表3 全国范围不同起伏度算法与坡度相关性

3 结论

（1）从宏观上看，本研究所尝试的6种起伏度算法在结果上与地表的实际状况基本吻合，均可用于描述地表起伏变化的宏观趋势。但不同的算法在微观上存有一定的差异。通过不同算法自身的频率分布与特征统计的对比、不同样区中不同算法与坡度进行的相关性比较、以及不同算法信息量差异的计算可知，在大部分地区局地标准差、局地高差法、RUGN是3种较为实用的起伏度提取算法，且计算方便；RDLS法在起伏度较小的平原地区效果不够理想，这主要是由于RDLS方法在1 000m分辨率时将高差≤30m的地区视为平地，从而在起伏状况较小的平原地区难以详细鉴别地形起伏形态，会造成起伏度提取的失真，因此该方法主要适用于地表起伏相对复杂的丘陵山地等地区，且计算区域不宜过小；投影面积比和矢量法在提取起伏度时，表面纹理尚可，但在内部结构上往往在小值区域分布较为密集，在提取精度上存有一定的不确定性。

（2）本研究旨在对起伏度的不同算法进行尝试和探讨。在样区的选取中主要以全国1 000m分辨率DEM为数据源，过程中并未涉及其他分辨率数据，在其他分辨率条件下的适用性须进一步的研究与论证；同时，如何建立起伏度与坡度之间的关系，在中粗分辨率条件下如何直接将起伏度数据应用于区域水土流失定量评价中，是一个亟待解决的问题。

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