朱长青，田德生

（1湖北工业大学工程技术学院，湖北 武汉430068；2湖北工业大学理学院，湖北 武汉430068）

近年来，重合度理论广泛应用于研究生态方程的周期解问题［1］，本文就是考虑如下的一类比率依赖Holling－Ⅲ的食饵－捕食者模型

其中g为连续的ω－周期函数。

首先，引入重合度理论中的延拓定理［6］。

设X，Z是赋范向量空间，L:DomLX→Z为线性映射，N:X→Z为连续映射。称L为指标为零Fredholm算子，如果dim Ker L＝codimImL＜ ’且ImL为Z中的闭集。如果L为指标为零Fredholm算子，又存在连续投影P:X→X和Q:Z→Z满足ImP

其中参数的生物意义参见文献［2］。环境变化对很多生物种群产生有着重要影响［3－4］，特别是周期变化的环境带来的生物种群数量的周期波动，这促使我们考虑系统（1）中的参数都属于周期函数的情况。因此，假设a（t），b（t），c（t），d（t），β（t），m（t）是正的连续ω－周期函数，实际上这种假设与环境的周期变化（如气候的季节因素、食物的供给、生殖习惯等）相一致。本文研究系统（1）的周期解的存在性，与一般生态方程周期解的存在性研究［3－6］比较，在处理这些问题时用了新技巧，得到了新的结果。目前，运用重合度理论研究比率依赖Holling－Ⅲ的捕食－食饵系统周期解的存在性问题似乎尚不多见。

引理 设L是指标为零Fredholm算子，N在Ω是L-紧的，假设

（ⅰ）对任意的λ∈ （0，1），x∈Ω∩domL，都有Lx≠λNx；

（ⅱ）对任意的x∈Ω∩Ker L，都有QNx≠0；

（ⅲ）deg ｛JQN，Ω ∩ Ker L，0｝ ≠0。

则方程Lx＝Nx在DomL∩Ω珚至少存在一个解。

应用重合度理论中的延拓定理讨论系统（1），得到如下结果。

证明 系统（1）过点 （x（0），y（0））的正轨线可写为

可见，当x（0）＞0，y（0）＞0，t≥0时，总有x（t）＞0，y（t）＞0。这表明从（x（0），y（0））出发的正轨线总停 留 在 第 一 象 限。 因 此，＝｛（x，y）x≥0，y≥0｝ 是系统（1）的正不变集。令

于是，系统（1）变为

由变换（2）知，若 （u＊（t），v＊（t））为系统（3）的一个ω－周期解，则