孟凡敏

近几年在各地的中考试卷中，频繁出现有关二次函数的图象与系数之间关系的试题.此类问题由于题设的部分条件蕴含在函数的图象之中，给我们的分析思考带来一定难度，但它能较好地考查二次函数的相关知识.该类试题常以选择题、填空题的形式出现，解题的关键是准确分析二次函数解析式中有关的量与函数图象的形状、位置的关系，正确地进行数与形的转换.现以2013年中考试题为例加以说明.

一、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数a、b、c之间的关系

1.a的作用

当a>0时，抛物线开口向上.当a<0时，抛物线开口向下，概括口诀为：“正上、负下”；反之，当抛物线开口向上时，a>0.当抛物线开口向下时，a<0.概括口诀为：“上正、下负”.

2.b的作用

（1）当a、b符号相同时，抛物线的对称轴在y轴左侧；当a、b符号不同时，抛物线的对称轴在y轴右侧，概括口诀为：“同号在左、异号在右” ；反之根据抛物线对称轴的位置判断a、b符号的口诀3.c的作用

当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴；当c<0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，概括口诀为：“正上、负下” ；反之，由抛物线与y轴交点的位置，判断c的符号的口诀为：“上正、下负” .

二、与字母系数有关的常见代数式符号的判定

1.b2-4ac的符号的判断：当抛物线与x轴有两个交点时，b2-4ac>0；当抛物线与x轴有一个交点时，b2-4ac=0；当抛物线与x轴没有交点时，b2-4ac<0.

三、试题解析

例1 （2013年山东菏泽）已知b<0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图象之一所示.根据图象分析，a的值等于（ ）.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

所以b>0，不符合题意.

综上所述，a的值等于1.故选C.

点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系.a的符号由抛物线的开口方向确定，难点在于根据图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目的已知条件b<0作比较.此类问题通常的做法是根据已知条件观察图形，解题的关键是运用数形结合思想，充分利用图象进行分析.

例2 （2013年山东烟台）如图1是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）.下列说法：①abc<0；

∴b=2a>0，

故①、②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-1，且过点（-3，0）.

∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）.

∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，

故③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-1，

∴点（-5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1）.

根据当x>-1时，y随x的增大而增大，

∴y2

故④正确；故选C.

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置共同确定，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定.

点评：此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质.根据已知得出a，b，c的值是解题关键.解决这类问题时，要全面分析函数图象的有关信息和函数解析式中有关量之间的关系，进而作出判断.

总之，解决二次函数图象与系数之间关系的问题时，首先要仔细观察图象，从图象中获取一些有用的信息，然后再根据信息确定二次函数图象与系数之间的关系.对于不能直接得到的信息，应对已有的信息进行研究，而结论大都是通过恒等变形获得的.