明师

数学思想是数学知识的灵魂，是解决数学问题的武器.恰当地运用数学思想方法，不但能提高学生的解题效率，还能提高学生的思维能力.因此，在数学学习中同学们要学会提炼和总结数学思想方法.《几何图形初步》一章中蕴含着许多的数学思想，同学们在小结时除了要掌握基本的知识外，还要学会运用数学思想解题.为此下面对本章的数学思想归纳如下，供同学们参考和选用.

一、数形结合思想

数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化，能够使同学们变抽象思维为形象思维，有助于同学们把握数学问题的本质.由于使用了数形结合思想，很多问题便可以迎刃而解，且解法简捷.

例1 同学们去公路旁植树，每隔3米植一棵树，问在21米长的公路旁最多可植几棵树？

分析：你可能会脱口说出：三七二十一，可植树7棵，那就错了！如果结合图形来解决问题就很直观了.

解：如图1所示，可植树8棵.

点评：解决本题要注意考虑线段的端点，否则容易出错.

二、方程思想

所谓方程思想，就是通过列方程或方程组（下学期我们将学习方程组）来解决问题的一种思想方法，特别是在解决某些几何问题时，运用方程思想往往可使问题的解决变得简便.

例2 如图2，点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2：5两部分，点E分AB为4：5两部分，若DE=5cm，求AB的长.

例3 若两个角的度数之比是3∶4，它们的差是25°，求这两个角.

分析：根据题意可设每份角为x度，于是两个角分别为3x度和4x度，从而由条件“差是25°”得到方程，解方程可求出两个角的度数.

解：设每份角为x度，可得两个角分别为3x度和4x度，则列方程为4x-3x=25.

解得x=25.所以3x=75，4x=100.

所以这两个角的度数分别为75°、100°.

点评：遇到比例问题时可以通过设未知数，列方程解决问题.

三、整体思想

整体思想就是根据问题的整体结构特征，从整体上去解决问题的一种重要的思想方法.

例4 如图3所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，求线段CD的长.

分析：虽然通过已知条件不能求出线段OC、OD的具体长度，但可以把OC+OD作为整体进行求解.

四、分类思想

所谓分类思想，就是根据事物的共性和差异性的特点，分别归类，然后逐一去研究解决.在运用分类思想解决问题时，应明确分类的标准，做到不重不漏.

例6 已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=3cm，求线段AC的长.

分析：题目的条件只是告诉我们A、B、C三点在一条直线上，但不能判断点C是在线段AB的延长线上，还是在线段AB上，所以要分类讨论解决问题.

解：有两种情形：

（1）当点C在线段AB的延长线时，如图5，AC=AB+BC=8+3=11（cm）；

（2）当点C在线段AB上时，如图6，AC=AB-BC=8-3=5（cm）.

所以线段AC的长为11cm或5cm.

例7 OC平分∠AOB，OD是∠BOC内的一条三等份线，试问∠AOB是∠COD的几倍？

分析：由于∠BOC的三等份线有两条，因此要分类讨论.

故∠AOB是∠COD的6倍或3倍.

点评：本题由于没有明确∠BOC内的一条三等份线OD是指靠近边OC还是边OB，因此要分类讨论求解.