吴双权

【摘 要】半环代数理论是较为活跃的代数学研究领域之一本文研究了矩形除半环及矩形除半环的分配格，讨论了这些半环与它们的乘法半群之间的关系，进一步分析了它们的次直积分解，讨论了纯整的矩形除半环的分配格。

【关键词】半环；分配格；矩形除半环

1.矩形除半环

定义1：半环S叫做乘法矩形带半环，是指它的乘法半群（S，·）是矩形带.我们用 表示所有的乘法矩形带半环类.

命题 1：若S∈Re，则S∈I.

证：设S∈Re，则（S，·）是矩形带，?a，b∈S，S满足aba=a，所以，a+a=a3+a3=a（a+a）a=a，所以S∈I.

定义 2：半环S叫做矩形除半环，是指S同构于乘法矩形带半环和除半环的直积.

用ReG表示所有的矩形除半环类.

推论1：对一个矩形除半环S，我们有

（1）（S，·）是矩形群。

（2）H是S上的半环同余。

（3）S的每一个H-类是S的一个子除半环。

定理1：半环S是知形除半环当且仅当S满足下述条件：

（1）S的乘法半群（S，·）是矩形群。

（2）H是S上的半环同余。

证明：根据推论，必要性是显然的.

充分性：设半环s的乘法半群（S，·）是矩形群且 是半环同余，我们知道y是半环S的最小除半环同余，我们有D=HY是S上的泛关系，H∩Y是S上的恒等关系，我们定义映射

φ：S→×，（?a∈S），aφ=（H，y）很容易验证φ是一个同构，即φ：S≌×，其中∈Re，∈G这就表明了S是矩形除半环.

2.矩形除半环的分配格

我们用ReGD表示所有的矩形除半环的分配格类.

定：2：半环S是矩形除半环的分配格，即S∈ReGD，当且仅当D是S上的最小分配格同余，且每一个D是矩形除半环.

证明：设半环S是矩形除半环的分配格，则存在半环同余ρ，使得 是分配格，每一个ρ类是矩形除半环.因为S的乘法半群（S，·）是矩形群的半格，是完……